Номер 23.22, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.22. Упростите выражение:

1) $ \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} $

2) $ \frac{1}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} $

3) $ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)\sin 2\alpha $

4) $ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha} $

5) $ \frac{4 \operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)^2} $

6) $ \frac{\operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha} $

7) $ \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)} $

8) $ 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) $

1)

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos\alpha - \cos 3\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}$

В числителе используем формулу синуса разности углов $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sin 3\alpha \cos\alpha - \cos 3\alpha \sin\alpha = \sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$.

Подставляем полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2$

Ответ: 2

2)

Рассмотрим знаменатель дроби $\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2}$. Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}$

В числителе получилась формула косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, а в знаменателе часть формулы синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = \cos\alpha$

$\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = \frac{1}{2}\sin\alpha$

Значит, знаменатель равен: $\frac{\cos\alpha}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = 2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\ctg\alpha$.

Тогда исходное выражение равно:

$\frac{1}{2\ctg\alpha} = \frac{1}{2}\tg\alpha$

Ответ: $\frac{1}{2}\tg\alpha$

3)

Преобразуем выражение в скобках, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\tg\alpha + \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Теперь умножим это на $\sin 2\alpha$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$(\tg\alpha + \ctg\alpha)\sin 2\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha) = 2$

Ответ: 2

4)

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-\tg\alpha)(1+\tg\alpha) = 1-\tg^2\alpha$ (формула разности квадратов):

$\frac{1}{1-\tg\alpha} - \frac{1}{1+\tg\alpha} = \frac{(1+\tg\alpha) - (1-\tg\alpha)}{(1-\tg\alpha)(1+\tg\alpha)} = \frac{1+\tg\alpha - 1 + \tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$

Упростим числитель:

$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$

Это формула тангенса двойного угла $\tg 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$.

Ответ: $\tg 2\alpha$

5)

Преобразуем выражение, выделив известные формулы:

$\frac{4\tg\alpha(1-\tg^2\alpha)}{(1+\tg^2\alpha)^2} = 2 \cdot \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha} \cdot \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$

Воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки:

$\sin 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}$

$\cos 2\alpha = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$

Подставим их в наше выражение:

$2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, где $x=2\alpha$:

$2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha$

Ответ: $\sin 4\alpha$

6)

Перевернем дробь и преобразуем ее:

$\frac{\tg 2\alpha - \tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} = \frac{\tg 2\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} - \frac{\tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} = \frac{1}{\tg\alpha} - \frac{1}{\tg 2\alpha} = \ctg\alpha - \ctg 2\alpha$

Представим котангенсы через синусы и косинусы:

$\ctg\alpha - \ctg 2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha}$

Числитель является формулой синуса разности $\sin(x-y)$:

$\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha = \sin(2\alpha-\alpha) = \sin\alpha$

Тогда перевернутая дробь равна:

$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha}$

Поскольку это результат для перевернутой дроби, исходное выражение равно $\sin 2\alpha$.

Ответ: $\sin 2\alpha$

7)

Упростим числитель. Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ является разностью квадратов:

$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$.

Теперь весь числитель имеет вид:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Исходное выражение становится:

$\frac{\sin^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Тогда:

$\frac{1-\cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)} = \frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{2(1-\cos\alpha)}$

Сократив $(1-\cos\alpha)$, получим:

$\frac{1+\cos\alpha}{2}$

Это формула косинуса половинного угла: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos^2\frac{\alpha}{2}$

8)

Воспользуемся формулой произведения косинусов $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$.

$A+B = (\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}) + (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$A-B = (\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}) - (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставляем в формулу:

$2\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) = \cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, выражение равно $\cos\alpha$.

Другой способ: Используем формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$.

$\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

Тогда исходное выражение примет вид:

$2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

Это формула синуса двойного угла $2\sin A \cos A = \sin(2A)$, где $A = \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$.

$\sin(2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$

По формуле приведения, $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$