Номер 23.16, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.16. Упростите выражение:

1) $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha;$

2) $\frac{1 + \cos 8\alpha}{\sin 8\alpha}.$

1) Для упрощения выражения $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, положив $x = 135^\circ - \alpha$:

$2\sin^2(135^\circ - \alpha) = 1 - \cos(2(135^\circ - \alpha))$

Раскроем скобки в аргументе косинуса:

$1 - \cos(270^\circ - 2\alpha)$

Далее используем формулу приведения $\cos(270^\circ - \beta) = -\sin(\beta)$. В данном случае $\beta = 2\alpha$, поэтому:

$\cos(270^\circ - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$

Подставим это обратно в преобразованное слагаемое:

$1 - (-\sin(2\alpha)) = 1 + \sin(2\alpha)$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$(1 + \sin(2\alpha)) - \sin(2\alpha) = 1 + \sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = 1$

Ответ: $1$

2) Для упрощения дроби $\frac{1 + \cos(8\alpha)}{\sin(8\alpha)}$ воспользуемся формулами двойного угла.

Для числителя применим формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. Если положить $2x = 8\alpha$, то $x = 4\alpha$.

$1 + \cos(8\alpha) = 2\cos^2(4\alpha)$

Для знаменателя применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Аналогично, при $2x = 8\alpha$ получаем $x = 4\alpha$.

$\sin(8\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{1 + \cos(8\alpha)}{\sin(8\alpha)} = \frac{2\cos^2(4\alpha)}{2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)}$

Сократим общие множители 2 и $\cos(4\alpha)$ (это возможно, так как если $\cos(4\alpha)=0$, то знаменатель исходной дроби $\sin(8\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha) = 0$, что недопустимо):

$\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)}$

Полученное отношение по определению является котангенсом: $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

Следовательно, итоговый результат:

$\cot(4\alpha)$

Ответ: $\cot(4\alpha)$