Номер 23.13, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.13. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos 4\alpha$;

2) $1 + \cos \frac{\alpha}{3}$;

3) $1 - \cos 50^{\circ}$;

4) $1 + \sin 2\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 - \cos 4\alpha$ используется формула понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В данном случае аргумент косинуса $4\alpha$, поэтому мы принимаем $2x = 4\alpha$, откуда следует, что $x = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha$.
Подставляем это значение в формулу:
$1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$.
Полученное выражение является произведением, так как $2\sin^2(2\alpha) = 2 \cdot \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\alpha)$.
Ответ: $2\sin^2(2\alpha)$.

2) Для выражения $1 + \cos \frac{\alpha}{3}$ применяется другая вариация формулы понижения степени, также следующая из формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
Здесь $2x = \frac{\alpha}{3}$, следовательно $x = \frac{\alpha}{3 \cdot 2} = \frac{\alpha}{6}$.
Применяем формулу:
$1 + \cos \frac{\alpha}{3} = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{6}\right)$.
Это произведение: $2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{6}\right)$.
Ответ: $2\cos^2\left(\frac{\alpha}{6}\right)$.

3) Выражение $1 - \cos 50^\circ$ преобразуется аналогично первому примеру, используя формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В этом случае $2x = 50^\circ$, значит $x = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.
Подставляем в формулу:
$1 - \cos 50^\circ = 2\sin^2(25^\circ)$.
Ответ: $2\sin^2(25^\circ)$.

4) Для преобразования выражения $1 + \sin 2\alpha$ сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы заменить синус на косинус: $\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ (или $\sin(\theta) = \cos(90^\circ - \theta)$).
Применим ее к $\sin 2\alpha$:
$\sin 2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Далее используем формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
В нашем случае $2x = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$, откуда $x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \alpha$.
Подставляя, получаем итоговый результат:
$1 + \sin 2\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Ответ: $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.