Номер 23.14, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.14. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos \frac{5\alpha}{6}$;

2) $1 + \cos 12\alpha$;

3) $1 + \cos 40^{\circ}$;

4) $1 - \sin \frac{\alpha}{2}$.

1) Для преобразования выражения $1 - \cos{\frac{5\alpha}{6}}$ воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени, которая позволяет представить разность в виде произведения: $1 - \cos(x) = 2\sin^2(\frac{x}{2})$. В данном случае в качестве $x$ выступает $\frac{5\alpha}{6}$. Соответственно, половинный угол будет равен $\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\alpha}{6} = \frac{5\alpha}{12}$. Подставляя это значение в формулу, получаем итоговое произведение: $1 - \cos{\frac{5\alpha}{6}} = 2\sin^2{\frac{5\alpha}{12}}$.
Ответ: $2\sin^2{\frac{5\alpha}{12}}$

2) Для выражения $1 + \cos{12\alpha}$ применим соответствующую формулу для суммы с косинусом: $1 + \cos(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2})$. Здесь $x = 12\alpha$, следовательно, половинный угол равен $\frac{x}{2} = \frac{12\alpha}{2} = 6\alpha$. Подставив это в формулу, мы преобразуем сумму в произведение: $1 + \cos{12\alpha} = 2\cos^2{6\alpha}$.
Ответ: $2\cos^2{6\alpha}$

3) Выражение $1 + \cos{40^\circ}$ преобразуется аналогично предыдущему пункту, используя формулу $1 + \cos(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2})$. В этом случае $x = 40^\circ$, а половинный угол составляет $\frac{x}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$. Таким образом, получаем: $1 + \cos{40^\circ} = 2\cos^2{20^\circ}$.
Ответ: $2\cos^2{20^\circ}$

4) Для преобразования выражения $1 - \sin{\frac{\alpha}{2}}$ сначала необходимо привести его к виду, удобному для применения формул понижения степени. Для этого воспользуемся формулой приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$. Применим ее к нашему выражению: $1 - \sin{\frac{\alpha}{2}} = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$. Теперь у нас есть выражение вида $1 - \cos(y)$, где $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$. Используем формулу $1 - \cos(y) = 2\sin^2(\frac{y}{2})$. Находим половинный угол: $\frac{y}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}$. В результате получаем: $1 - \sin{\frac{\alpha}{2}} = 2\sin^2{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})}$.
Ответ: $2\sin^2{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})}$