Номер 23.6, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.6. Вычислите:

1) $ \cos^2 22^\circ 30' - \sin^2 22^\circ 30' $

2) $ \frac{2\operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} $

3) $ 2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} $

4) $ 1 - 2\cos^2\frac{\pi}{12} $

1) Исходное выражение: $cos^2 22^\circ30' - sin^2 22^\circ30'$.

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

В нашем случае, $\alpha = 22^\circ30'$.

Применим формулу:

$cos^2 22^\circ30' - sin^2 22^\circ30' = cos(2 \cdot 22^\circ30')$.

Вычислим угол:

$2 \cdot 22^\circ30' = 44^\circ60' = 45^\circ$.

Таким образом, выражение равно $cos(45^\circ)$.

Значение косинуса $45^\circ$ является табличным:

$cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Исходное выражение: $\frac{2\operatorname{tg}75^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 75^\circ}$.

Это выражение соответствует формуле тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$.

В данном случае, $\alpha = 75^\circ$.

Применим формулу:

$\frac{2\operatorname{tg}75^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 75^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ)$.

Вычислим угол:

$2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, выражение равно $\operatorname{tg}(150^\circ)$.

Используя формулу приведения, найдем значение $\operatorname{tg}(150^\circ)$:

$\operatorname{tg}(150^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ)$.

Значение тангенса $30^\circ$ является табличным:

$-\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Исходное выражение: $2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}$.

Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Здесь $\alpha = \frac{3\pi}{8}$.

Применим формулу:

$2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{8})$.

Вычислим угол:

$2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, выражение равно $\sin(\frac{3\pi}{4})$.

Используя формулу приведения, найдем значение $\sin(\frac{3\pi}{4})$:

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение синуса $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Исходное выражение: $1 - 2\cos^2\frac{\pi}{12}$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Преобразуем исходное выражение, вынеся минус за скобки:

$1 - 2\cos^2\frac{\pi}{12} = -(2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1)$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

$-(2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})$.

Вычислим угол:

$2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, выражение равно $-\cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса $\frac{\pi}{6}$ является табличным:

$-\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.