Номер 23.3, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha}$;

2) $\frac{\sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$;

3) $\cos 2\alpha + \sin^2 \alpha$;

4) $\frac{\sin 50^{\circ}}{2 \cos 25^{\circ}}$;

5) $\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$;

6) $1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{4}$;

7) $\frac{\sin^2 \alpha \operatorname{ctg} \alpha}{\sin 2\alpha}$;

8) $\left(\sin \frac{\alpha}{4} + \cos \frac{\alpha}{4}\right)\left(\sin \frac{\alpha}{4} - \cos \frac{\alpha}{4}\right)$;

9) $\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{1 - 2\sin^2 \alpha}$;

10) $\cos^4 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \sin^4 \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

11) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha + 2\sin^2 \alpha}$;

12) $\frac{\operatorname{tg}(45^{\circ} + \alpha)}{1 - \operatorname{tg}^2(45^{\circ} + \alpha)}$

1) Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Подставим ее в исходное выражение:
$\frac{\sin{2\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$
Сокращаем на $\sin{\alpha}$ (при условии $\sin{\alpha} \neq 0$):
$2\cos{\alpha}$
Ответ: $2\cos{\alpha}$

2) Используем формулу синуса двойного угла в числителе ($\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$) и формулу косинуса двойного угла в знаменателе ($\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$):
$\frac{\sin{2\alpha}}{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$
По определению тангенса $\text{tg}{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$, получаем:
$\text{tg}{2\alpha}$
Ответ: $\text{tg}{2\alpha}$

3) Используем одну из формул косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$:
$\cos{2\alpha} + \sin^2{\alpha} = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}) + \sin^2{\alpha}$
Упрощаем выражение:
$\cos^2{\alpha}$
Ответ: $\cos^2{\alpha}$

4) Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. В нашем случае $\sin{50^\circ} = \sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin{25^\circ}\cos{25^\circ}$:
$\frac{\sin{50^\circ}}{2\cos{25^\circ}} = \frac{2\sin{25^\circ}\cos{25^\circ}}{2\cos{25^\circ}}$
Сокращаем на $2\cos{25^\circ}$:
$\sin{25^\circ}$
Ответ: $\sin{25^\circ}$

5) В числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$, которую можно разложить как разность квадратов:
$\frac{\cos{2\alpha}}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}} = \frac{\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}} = \frac{(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})(\cos{\alpha} + \sin{\alpha})}{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}$
Сокращаем на $(\cos{\alpha} - \sin{\alpha})$:
$\cos{\alpha} + \sin{\alpha}$
Ответ: $\cos{\alpha} + \sin{\alpha}$

6) Выражение $1 - 2\sin^2{x}$ является формулой косинуса двойного угла $\cos{2x}$. В нашем случае $x = \frac{\alpha}{4}$:
$1 - 2\sin^2{\frac{\alpha}{4}} = \cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = \cos{\frac{\alpha}{2}}$
Ответ: $\cos{\frac{\alpha}{2}}$

7) Заменим $\text{ctg}{\alpha}$ на $\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$ и $\sin{2\alpha}$ на $2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$:
$\frac{\sin^2{\alpha} \cdot \text{ctg}{\alpha}}{\sin{2\alpha}} = \frac{\sin^2{\alpha} \cdot \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}} = \frac{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
Сокращаем дробь:
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

8) Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(\sin{\frac{\alpha}{4}} + \cos{\frac{\alpha}{4}})(\sin{\frac{\alpha}{4}} - \cos{\frac{\alpha}{4}}) = \sin^2{\frac{\alpha}{4}} - \cos^2{\frac{\alpha}{4}}$
Вынесем минус за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos{2x} = \cos^2x - \sin^2x$:
$-(\cos^2{\frac{\alpha}{4}} - \sin^2{\frac{\alpha}{4}}) = -\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = -\cos{\frac{\alpha}{2}}$
Ответ: $-\cos{\frac{\alpha}{2}}$

9) В числителе используем следствие из формулы синуса двойного угла $\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$. В знаменателе используем формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}$:
$\frac{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{1 - 2\sin^2{\alpha}} = \frac{\frac{1}{2}\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \frac{1}{2}\text{tg}{2\alpha}$
Ответ: $\frac{1}{2}\text{tg}{2\alpha}$

10) Используем формулу разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$. Пусть $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$:
$\cos^4{x} - \sin^4{x} = (\cos^2{x} - \sin^2{x})(\cos^2{x} + \sin^2{x})$
Применяем формулу косинуса двойного угла $\cos^2{x} - \sin^2{x} = \cos{2x}$ и основное тригонометрическое тождество $\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1$:
$\cos{2x} \cdot 1 = \cos{2x}$
Подставляем обратно $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$:
$\cos(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin{y}$:
$\sin{2\alpha}$
Ответ: $\sin{2\alpha}$

11) Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель: $(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2 - \sin{2\alpha}$. Раскроем скобки и применим тождества $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ и $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$:
$\sin^2{\alpha} + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos^2{\alpha} - \sin{2\alpha} = (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}) + \sin{2\alpha} - \sin{2\alpha} = 1 + 0 = 1$
Знаменатель: $\cos{2\alpha} + 2\sin^2{\alpha}$. Используем формулу $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$:
$(1 - 2\sin^2{\alpha}) + 2\sin^2{\alpha} = 1$
В результате получаем: $\frac{1}{1} = 1$
Ответ: $1$

12) Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}{2x} = \frac{2\text{tg}{x}}{1 - \text{tg}^2{x}}$. Выразим из нее искомую часть: $\frac{\text{tg}{x}}{1 - \text{tg}^2{x}} = \frac{1}{2}\text{tg}{2x}$.
В нашем случае $x = 45^\circ + \alpha$:
$\frac{\text{tg}(45^\circ + \alpha)}{1 - \text{tg}^2(45^\circ + \alpha)} = \frac{1}{2}\text{tg}(2(45^\circ + \alpha)) = \frac{1}{2}\text{tg}(90^\circ + 2\alpha)$
Используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ + y) = -\text{ctg}{y}$:
$\frac{1}{2}(-\text{ctg}(2\alpha)) = -\frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$
Ответ: $-\frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$