Номер 22.14, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.14. Найти значение выражения $\cos^2{\frac{\pi}{8}} + \cos^2{\frac{3\pi}{11}} + \cos^2{\frac{3\pi}{8}} + \cos^2{\frac{5\pi}{22}}$.

22.14. Для нахождения значения выражения $\cos^2{\frac{\pi}{8}} + \cos^2{\frac{3\pi}{11}} + \cos^2{\frac{3\pi}{8}} + \cos^2{\frac{5\pi}{22}}$ сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\cos^2{\frac{\pi}{8}} + \cos^2{\frac{3\pi}{8}}) + (\cos^2{\frac{3\pi}{11}} + \cos^2{\frac{5\pi}{22}})$

Рассмотрим первую группу слагаемых: $(\cos^2{\frac{\pi}{8}} + \cos^2{\frac{3\pi}{8}})$.

Заметим, что сумма углов $\frac{\pi}{8}$ и $\frac{3\pi}{8}$ равна $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$. Такие углы называются дополнительными.

Воспользуемся формулой приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Поскольку $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$, то $\cos{\frac{3\pi}{8}} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \sin{\frac{\pi}{8}}$.

Следовательно, $\cos^2{\frac{3\pi}{8}} = \sin^2{\frac{\pi}{8}}$.

Подставив это в выражение для первой группы, получим: $\cos^2{\frac{\pi}{8}} + \sin^2{\frac{\pi}{8}}$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, значение этого выражения равно 1.

Теперь рассмотрим вторую группу слагаемых: $(\cos^2{\frac{3\pi}{11}} + \cos^2{\frac{5\pi}{22}})$.

Проверим сумму этих углов: $\frac{3\pi}{11} + \frac{5\pi}{22} = \frac{6\pi}{22} + \frac{5\pi}{22} = \frac{11\pi}{22} = \frac{\pi}{2}$. Эти углы также являются дополнительными.

Применим ту же формулу приведения:

$\cos{\frac{5\pi}{22}} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{11}) = \sin{\frac{3\pi}{11}}$.

Отсюда следует, что $\cos^2{\frac{5\pi}{22}} = \sin^2{\frac{3\pi}{11}}$.

Выражение для второй группы принимает вид: $\cos^2{\frac{3\pi}{11}} + \sin^2{\frac{3\pi}{11}}$.

На основании основного тригонометрического тождества его значение также равно 1.

Наконец, найдем значение исходного выражения, сложив значения, полученные для каждой группы:

$1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.