Номер 22.11, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.11. Вычислите:

1) $\cot 5^\circ \cot 15^\circ \cot 25^\circ \dots \cdot \cot 75^\circ \cot 85^\circ;$

2) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 60^\circ + \dots + \tan 160^\circ + \tan 180^\circ;$

3) $\sin 0^\circ + \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \dots + \sin 359^\circ + \sin 360^\circ.$

1) Вычислим произведение $ \text{ctg}5^\circ \cdot \text{ctg}15^\circ \cdot \text{ctg}25^\circ \cdot \dots \cdot \text{ctg}75^\circ \cdot \text{ctg}85^\circ $.

Заметим, что углы в аргументах котангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 5^\circ$ и разностью $d = 10^\circ$. Найдем количество членов в произведении. Последний член $a_n = 85^\circ$.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$85 = 5 + (n-1)10$

$80 = (n-1)10$

$n-1 = 8$

$n = 9$

Таким образом, в произведении 9 сомножителей: $ \text{ctg}5^\circ, \text{ctg}15^\circ, \text{ctg}25^\circ, \text{ctg}35^\circ, \text{ctg}45^\circ, \text{ctg}55^\circ, \text{ctg}65^\circ, \text{ctg}75^\circ, \text{ctg}85^\circ $.

Сгруппируем сомножители, используя формулу приведения $ \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}\alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1 $.

Рассмотрим пары сомножителей, равноотстоящих от концов произведения:

$ \text{ctg}5^\circ \cdot \text{ctg}85^\circ = \text{ctg}5^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 5^\circ) = \text{ctg}5^\circ \cdot \text{tg}5^\circ = 1 $

$ \text{ctg}15^\circ \cdot \text{ctg}75^\circ = \text{ctg}15^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ \cdot \text{tg}15^\circ = 1 $

$ \text{ctg}25^\circ \cdot \text{ctg}65^\circ = \text{ctg}25^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 25^\circ) = \text{ctg}25^\circ \cdot \text{tg}25^\circ = 1 $

$ \text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ = \text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 35^\circ) = \text{ctg}35^\circ \cdot \text{tg}35^\circ = 1 $

Центральный член последовательности (пятый из девяти), который остался без пары, это $ \text{ctg}45^\circ $. Его значение равно 1.

Таким образом, всё произведение равно произведению полученных значений: $ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $.

Ответ: 1

2) Вычислим сумму $ \text{tg}20^\circ + \text{tg}40^\circ + \text{tg}60^\circ + \dots + \text{tg}160^\circ + \text{tg}180^\circ $.

Аргументы тангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 20^\circ$ и разностью $d = 20^\circ$. Количество членов в сумме: $n = \frac{180-20}{20} + 1 = \frac{160}{20} + 1 = 8 + 1 = 9$.

Выпишем все слагаемые: $ \text{tg}20^\circ, \text{tg}40^\circ, \text{tg}60^\circ, \text{tg}80^\circ, \text{tg}100^\circ, \text{tg}120^\circ, \text{tg}140^\circ, \text{tg}160^\circ, \text{tg}180^\circ $.

Сгруппируем слагаемые, используя формулу приведения $ \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha $.

Рассмотрим пары слагаемых, чьи углы в сумме дают $180^\circ$:

$ \text{tg}20^\circ + \text{tg}160^\circ = \text{tg}20^\circ + \text{tg}(180^\circ - 20^\circ) = \text{tg}20^\circ - \text{tg}20^\circ = 0 $

$ \text{tg}40^\circ + \text{tg}140^\circ = \text{tg}40^\circ + \text{tg}(180^\circ - 40^\circ) = \text{tg}40^\circ - \text{tg}40^\circ = 0 $

$ \text{tg}60^\circ + \text{tg}120^\circ = \text{tg}60^\circ + \text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = \text{tg}60^\circ - \text{tg}60^\circ = 0 $

$ \text{tg}80^\circ + \text{tg}100^\circ = \text{tg}80^\circ + \text{tg}(180^\circ - 80^\circ) = \text{tg}80^\circ - \text{tg}80^\circ = 0 $

Последнее слагаемое в сумме — это $ \text{tg}180^\circ $. Его значение равно 0.

Таким образом, вся сумма равна сумме полученных значений: $ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0

3) Вычислим сумму $ \sin0^\circ + \sin1^\circ + \sin2^\circ + \dots + \sin359^\circ + \sin360^\circ $.

Сумма содержит 361 слагаемое, где аргументы синусов — целые числа от 0 до 360.

Используем формулу приведения $ \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha $ и сгруппируем слагаемые.

Значения некоторых членов суммы равны нулю: $ \sin0^\circ = 0 $, $ \sin180^\circ = 0 $ и $ \sin360^\circ = 0 $.

Остальные слагаемые можно разбить на пары вида $ \sin\alpha + \sin(360^\circ - \alpha) $:

$ \sin1^\circ + \sin359^\circ = \sin1^\circ + \sin(360^\circ - 1^\circ) = \sin1^\circ - \sin1^\circ = 0 $

$ \sin2^\circ + \sin358^\circ = \sin2^\circ + \sin(360^\circ - 2^\circ) = \sin2^\circ - \sin2^\circ = 0 $

... и так далее до ...

$ \sin179^\circ + \sin181^\circ = \sin179^\circ + \sin(360^\circ - 179^\circ) = \sin179^\circ - \sin179^\circ = 0 $

Всего таких пар $179$ (для $ \alpha $ от $1^\circ$ до $179^\circ$). Сумма в каждой паре равна 0.

Следовательно, общая сумма представляет собой сумму нулей: $ \sin0^\circ + (\sin1^\circ + \sin359^\circ) + \dots + (\sin179^\circ + \sin181^\circ) + \sin180^\circ + \sin360^\circ = 0 + 0 + \dots + 0 + 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0