Номер 22.5, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.5. Вычислите:

1) $\cos 225^\circ$;

2) $\sin 240^\circ$;

3) $\cos \frac{5\pi}{4}$;

4) $\cos \left(-\frac{4\pi}{3}\right)$.

1) Для вычисления $ \cos 225^\circ $ воспользуемся формулами приведения. Угол $ 225^\circ $ находится в третьей координатной четверти ($ 180^\circ < 225^\circ < 270^\circ $), где косинус имеет отрицательное значение. Представим угол $ 225^\circ $ в виде суммы $ 180^\circ + 45^\circ $.

Согласно формуле приведения $ \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha $, получаем:

$ \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, $ \cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2) Для вычисления $ \sin 240^\circ $ используем формулы приведения. Угол $ 240^\circ $ находится в третьей координатной четверти ($ 180^\circ < 240^\circ < 270^\circ $), где синус имеет отрицательное значение. Представим угол $ 240^\circ $ в виде суммы $ 180^\circ + 60^\circ $.

Согласно формуле приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $, получаем:

$ \sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Таким образом, $ \sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

3) Для вычисления $ \cos \frac{5\pi}{4} $ используем формулы приведения для углов, заданных в радианах. Угол $ \frac{5\pi}{4} $ находится в третьей координатной четверти ($ \pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} $), где косинус отрицателен. Представим угол $ \frac{5\pi}{4} $ в виде суммы $ \pi + \frac{\pi}{4} $.

Согласно формуле приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $, получаем:

$ \cos \frac{5\pi}{4} = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, $ \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

4) Для вычисления $ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) $ воспользуемся свойством четности функции косинус. Функция $ y = \cos x $ является четной, поэтому для любого угла $ \alpha $ справедливо равенство $ \cos(-\alpha) = \cos \alpha $.

$ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) $.

Далее вычислим $ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) $. Угол $ \frac{4\pi}{3} $ находится в третьей координатной четверти ($ \pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} $), где косинус отрицателен. Представим угол $ \frac{4\pi}{3} $ в виде суммы $ \pi + \frac{\pi}{3} $.

Согласно формуле приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha $, получаем:

$ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos \frac{\pi}{3} $.

Из таблицы тригонометрических значений известно, что $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

Таким образом, $ \cos\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $