Вопрос, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте правила, которыми можно руководствоваться при применении формул приведения.

Формулы приведения используются для того, чтобы свести тригонометрическую функцию от произвольного угла к функции от острого угла. Существует простое мнемоническое правило (иногда называемое "правилом лошадки"), которое позволяет легко применять эти формулы. Правило состоит из двух шагов.

Любую формулу приведения можно представить в виде $f(n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha)$ или $f(n \cdot 90^\circ \pm \alpha)$, где $f$ — это одна из тригонометрических функций, $n$ — целое число, а $\alpha$ — острый угол.

1. Определение знака конечного выражения

Знак в правой части формулы определяется по знаку исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$. Для определения четверти мысленно считаем угол $\alpha$ малым и острым (например, $10^\circ-30^\circ$).

• I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$): все функции ($\sin, \cos, \tan, \cot$) имеют знак «+».
• II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$): только $\sin$ имеет знак «+», остальные «−».
• III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$): только $\tan$ и $\cot$ имеют знак «+», остальные «−».
• IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): только $\cos$ имеет знак «+», остальные «−».

Пример: Определим знак для $\sin(\pi - \alpha)$. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти. Исходная функция — синус. Синус во II четверти положителен. Значит, результат будет со знаком «+».

2. Определение названия конечной функции

Здесь применяется правило, которое зависит от точек на единичной окружности, от которых откладывается угол $\alpha$.

• Если в формуле участвуют углы $\pi$ ($180^\circ$) или $2\pi$ ($360^\circ$), то есть точки, лежащие на горизонтальной оси, то название функции не меняется. (Мнемонически: мысленно проводим по горизонтальной оси и качаем головой "нет").
  Пример: $\cos(\pi + \alpha) \rightarrow \cos(\alpha)$ (знак определится отдельно), $\tan(2\pi - \alpha) \rightarrow \tan(\alpha)$.
• Если в формуле участвуют углы $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$) или $\frac{3\pi}{2}$ ($270^\circ$), то есть точки, лежащие на вертикальной оси, то название функции меняется на кофункцию: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$. (Мнемонически: мысленно проводим по вертикальной оси и киваем головой "да").
  Пример: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) \rightarrow \cos(\alpha)$, $\cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \rightarrow \tan(\alpha)$.

Применение обоих правил на примере:

Найдем, чему равно $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$.

1. Определяем знак. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти. Исходная функция — косинус. Косинус в IV четверти положителен. Значит, у результата будет знак «+».
2. Определяем функцию. В формуле участвует угол $\frac{3\pi}{2}$, который лежит на вертикальной оси. Значит, функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.

Соединяем результаты: $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = +\sin(\alpha) = \sin(\alpha)$.

Ответ:

При применении формул приведения следует руководствоваться алгоритмом из двух правил:

1. Правило знака: В правой части ставится тот знак, который имеет исходная функция в той четверти, в которой находится угол в левой части (при условии, что угол $\alpha$ — острый).

2. Правило функции: Название исходной функции сохраняется, если в ее аргументе содержатся углы $\pi$ или $2\pi$ (горизонтальная ось). Название функции меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$), если в аргументе содержатся углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (вертикальная ось).