Номер 21.26, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.26. Найдите наименьшее значение выражения:

1) $\sqrt{3} \cos\alpha - \sin\alpha$;

2) $\sqrt{2} \sin\alpha + \sqrt{6} \cos\alpha$.

1) Для нахождения наименьшего значения выражения $\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ можно преобразовать к виду $A\cos(\alpha \mp \phi)$ или $A\sin(\alpha \pm \phi)$, где $A = \sqrt{a^2+b^2}$.

В нашем случае коэффициенты при $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ равны $a = \sqrt{3}$ и $b = -1$.

Вычислим амплитуду $A$:
$A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем множитель $2$ за скобки в исходном выражении:
$\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right)$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения в выражение в скобках:
$2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)$.

Теперь воспользуемся формулой косинуса суммы: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
Применив эту формулу, получим:
$2\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Область значений функции косинус находится в промежутке от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) \le 1$.
Следовательно, область значений всего выражения будет от $2 \cdot (-1)$ до $2 \cdot 1$, то есть от $-2$ до $2$.
Наименьшее значение выражения равно $-2$.

Ответ: $-2$.

2) Найдем наименьшее значение выражения $\sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{6}\cos\alpha$. Применим тот же метод вспомогательного угла.

В этом выражении коэффициенты при $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ равны $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{6}$.

Вычислим амплитуду $A$:
$A = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Вынесем множитель $2\sqrt{2}$ за скобки:
$\sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{6}\cos\alpha = 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\sin\alpha + \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\cos\alpha\right)$.

Упростим дроби в скобках:
$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выражение принимает вид:
$2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)$.

Представим коэффициенты в виде тригонометрических функций. Можно заметить, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим их в выражение:
$2\sqrt{2}\left(\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3} + \cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}\right)$.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.
Применив формулу, получаем:
$2\sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)$.

Область значений функции синус находится в промежутке от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.
Следовательно, область значений всего выражения находится в промежутке от $2\sqrt{2} \cdot (-1)$ до $2\sqrt{2} \cdot 1$, то есть от $-2\sqrt{2}$ до $2\sqrt{2}$.
Наименьшее значение выражения равно $-2\sqrt{2}$.

Ответ: $-2\sqrt{2}$.