Номер 21.19, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.19. Докажите тождество:

1) $\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta = \frac{\text{sin}(\alpha - \beta)}{\text{cos}\alpha \text{cos}\beta}$;

2) $\text{ctg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{\text{cos}(\alpha - \beta)}{\text{sin}\alpha \text{cos}\beta}$.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого выразим тангенсы через синусы и косинусы, используя определение $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$tg \alpha - tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Далее приведем дроби к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Выражение в числителе является развернутой формулой синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Выполнив замену в числителе, получаем:

$\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

Таким образом, левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Воспользуемся определениями котангенса $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и тангенса $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$ctg \alpha + tg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \beta$:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$

Выражение в числителе является развернутой формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в числитель нашего выражения:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$

Левая часть тождества была преобразована к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.