Номер 21.17, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.17. Найдите:

1) $sin 15^\circ$;

2) $sin 105^\circ$;

3) $\operatorname{ctg} 105^\circ$.

1) sin 15°

Для нахождения значения $\sin 15°$ представим угол $15°$ как разность двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций, например, $45°$ и $30°$. То есть $15° = 45° - 30°$.

Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

Подставим наши значения $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:

$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30°$

Теперь подставим известные значения синусов и косинусов:

$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30° = \frac{1}{2}$

Выполним вычисление:

$\sin 15° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

2) sin 105°

Представим угол $105°$ как сумму двух стандартных углов: $105° = 60° + 45°$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Подставим наши значения $\alpha = 60°$ и $\beta = 45°$:

$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$

Подставим известные значения тригонометрических функций:

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60° = \frac{1}{2}$

$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполним вычисление:

$\sin 105° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3) ctg 105°

Котангенс угла можно найти по формуле $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Значение $\sin 105°$ мы уже нашли в предыдущем пункте: $\sin 105° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем $\cos 105°$, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ и представление $105° = 60° + 45°$.

$\cos 105° = \cos(60° + 45°) = \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45°$

Подставим известные значения:

$\cos 105° = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Теперь вычислим котангенс, разделив косинус на синус:

$\cot 105° = \frac{\cos 105°}{\sin 105°} = \frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$\cot 105° = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}$

Вычислим знаменатель: $6 - 2 = 4$.

Вычислим числитель: $(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = -(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = -(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = - (6 - 2\sqrt{12} + 2) = - (8 - 2\sqrt{4 \cdot 3}) = - (8 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 8$.

Подставим полученные значения:

$\cot 105° = \frac{4\sqrt{3} - 8}{4} = \frac{4(\sqrt{3} - 2)}{4} = \sqrt{3} - 2$

Ответ: $\sqrt{3} - 2$