Номер 21.18, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.18. Найдите:

1) $ \cos 75^\circ $;

2) $ \sin 75^\circ $.

1)

Чтобы найти значение $\cos 75°$, представим угол $75°$ в виде суммы двух стандартных углов, для которых известны значения тригонометрических функций. Наиболее удобным является представление $75° = 45° + 30°$.

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Подставим в эту формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:
$\cos 75° = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°$

Теперь используем известные значения тригонометрических функций для углов $30°$ и $45°$:
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 30° = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение:
$\cos 75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение и вычитание дробей:
$\cos 75° = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

2)

Для нахождения значения $\sin 75°$ используем то же представление угла: $75° = 45° + 30°$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Подставим в эту формулу $\alpha = 45°$ и $\beta = 30°$:
$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$

Используем те же табличные значения тригонометрических функций:
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 30° = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение:
$\sin 75° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение и сложение дробей:
$\sin 75° = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$