Номер 22.8, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.8. Найдите значение выражения:

1) $4\cos 225^\circ - 6\cos 120^\circ + 3\operatorname{ctg} 300^\circ + \operatorname{tg} 240^\circ$;

2) $\frac{6\cos^2(-240^\circ)\operatorname{ctg}210^\circ}{\sin(-300^\circ)\cos^2 180^\circ}$;

3) $\sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} - \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6}$;

4) $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 41^\circ - \cos 49^\circ \cos 19^\circ}$.

1) Найдем значение выражения $4\cos 225^\circ - 6\cos 120^\circ + 3\text{ctg} 300^\circ + \text{tg} 240^\circ$.
Для этого вычислим значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения для углов:
$\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$;
$\text{ctg} 300^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$\text{tg} 240^\circ = \text{tg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \sqrt{3} = -2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{2}$.
Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$.

2) Найдем значение выражения $\frac{6\cos^2(-240^\circ)\text{ctg} 210^\circ}{\sin(-300^\circ)\cos^2 180^\circ}$.
Вычислим значения тригонометрических функций, используя свойства четности/нечетности ($\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$) и формулы приведения:
$\cos^2(-240^\circ) = (\cos(-240^\circ))^2 = (\cos 240^\circ)^2 = (\cos(180^\circ+60^\circ))^2 = (-\cos 60^\circ)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$;
$\text{ctg} 210^\circ = \text{ctg}(180^\circ+30^\circ) = \text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$;
$\sin(-300^\circ) = -\sin(300^\circ) = -\sin(360^\circ-60^\circ) = -(-\sin 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\cos^2 180^\circ = (\cos 180^\circ)^2 = (-1)^2 = 1$.
Подставим найденные значения в дробь:
$\frac{6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{6\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$.
Ответ: $3$.

3) Найдем значение выражения $\sin\frac{7\pi}{4} - \cos\frac{2\pi}{3} - \text{tg}\frac{4\pi}{3} - \text{ctg}\frac{7\pi}{6}$.
Вычислим значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения для радиан:
$\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$;
$\text{tg}\frac{4\pi}{3} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$;
$\text{ctg}\frac{7\pi}{6} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{3} - \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$.

4) Найдем значение выражения $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 41^\circ - \cos 49^\circ \cos 19^\circ}$.
Для упрощения выражения воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ и формулой косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Преобразуем числитель. Заметим, что $\cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ$ и $\cos 26^\circ = \cos(90^\circ - 64^\circ) = \sin 64^\circ$.
Тогда числитель примет вид:
$\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \sin 64^\circ \sin 4^\circ = \cos(64^\circ + 4^\circ) = \cos 68^\circ$.
Преобразуем знаменатель. Заметим, что $\cos 49^\circ = \cos(90^\circ - 41^\circ) = \sin 41^\circ$ и $\cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ$.
Тогда знаменатель примет вид:
$\cos 71^\circ \cos 41^\circ - \sin 71^\circ \sin 41^\circ = \cos(71^\circ + 41^\circ) = \cos 112^\circ$.
Теперь все выражение выглядит так: $\frac{\cos 68^\circ}{\cos 112^\circ}$.
Используем еще одну формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ для знаменателя:
$\cos 112^\circ = \cos(180^\circ - 68^\circ) = -\cos 68^\circ$.
Подставляем это в дробь:
$\frac{\cos 68^\circ}{-\cos 68^\circ} = -1$.
Ответ: $-1$.