Номер 22.10, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.10. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -\cos\alpha;$

2) $\sin(\pi + x)\cos(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(2\pi + x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -1;$

3) $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1;$

4) $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi.$

1) Для доказательства тождества $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -\cos\alpha$ преобразуем левую часть, используя формулы приведения и свойства периодичности тригонометрических функций.

Применим формулы приведения для каждого множителя:

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (угол во второй четверти, синус положителен).
• $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ (периодичность синуса, период $2\pi$).
• $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$ (угол в третьей четверти, тангенс положителен).
• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot (-\sin\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha}{-\text{tg}\alpha \cdot \sin\alpha}$

Сократим на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{-\text{tg}\alpha}$

Зная, что $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, подставим это в выражение:

$\frac{\sin\alpha}{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \sin\alpha \cdot (-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) = -\cos\alpha$

Левая часть равна правой: $-\cos\alpha = -\cos\alpha$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\sin(\pi + x)\cos(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(2\pi + x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -1$ преобразуем левую часть, используя формулы приведения.

Применим формулы приведения для каждого слагаемого:

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$ (угол в третьей четверти, синус отрицателен).
• $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ (угол в первой четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\cos(2\pi + x) = \cos x$ (периодичность косинуса).
• $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x$ (угол в четвертой четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$(-\sin x) \cdot (\sin x) + (\cos x) \cdot (-\cos x) = -\sin^2x - \cos^2x$

Вынесем минус за скобки:

$-(\sin^2x + \cos^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$-1$

Левая часть равна правой: $-1 = -1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1$ преобразуем левую часть, используя формулы приведения.

Преобразуем числитель:

• $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен).
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен).
• $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол в первой четверти, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).

Числитель: $(-\text{tg}\alpha) \cdot (-\cos\alpha) \cdot (\text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.

Преобразуем знаменатель:

• $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ (угол во второй четверти, синус положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\text{ctg}(90^\circ + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол во второй четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
• $\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Знаменатель: $(\cos\alpha) \cdot (-\text{tg}\alpha) \cdot (-\text{ctg}\alpha) = \cos\alpha \cdot (\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha)$. Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, то знаменатель равен $\cos\alpha$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$

Левая часть равна правой: $1 = 1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi$ преобразуем левую часть.

Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:

• $\sin(2\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (угол в четвертой четверти, синус отрицателен).
• $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) = \text{ctg}\varphi$ (угол в третьей четверти, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\cos(\varphi - \pi) = \cos(-(\pi - \varphi)) = \cos(\pi - \varphi) = -\cos\varphi$ (использовали четность косинуса и формулу приведения для второй четверти).
• $\sin(\varphi - \pi) = \sin(-(\pi - \varphi)) = -\sin(\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (использовали нечетность синуса и формулу приведения для второй четверти).

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$(-\sin\varphi) \cdot (\text{ctg}\varphi) - (-\cos\varphi) - (-\sin\varphi) = -\sin\varphi \cdot \text{ctg}\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi$

Заменим $\text{ctg}\varphi = \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$:

$-\sin\varphi \cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} + \cos\varphi + \sin\varphi$

Сократим $\sin\varphi$:

$-\cos\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi = \sin\varphi$

Левая часть равна правой: $\sin\varphi = \sin\varphi$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.