Страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.33. Упростите выражение:

1) $\cos^4 \alpha - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha;$

2) $\frac{\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \sin 2\alpha};$

3) $\frac{2\sin 4\alpha (1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 + \operatorname{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)};$

4) $\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}.$

1) Преобразуем данное выражение, выделив в нем известные тригонометрические формулы. Перегруппируем члены:
$\cos^4 \alpha - 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^4 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha) - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Первые три слагаемых образуют формулу квадрата разности $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2$, а последний член является квадратом синуса двойного угла $(2 \sin \alpha \cos \alpha)^2$.
Таким образом, выражение равно: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2 - (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2$.
Применяя формулы косинуса и синуса двойного угла ($\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$), получаем:
$\cos^2(2\alpha) - \sin^2(2\alpha)$.
Это снова формула косинуса двойного угла для аргумента $2\alpha$, которая равна $\cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.
Ответ: $\cos(4\alpha)$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{\cos 2\alpha}{\text{ctg } \alpha - \sin 2\alpha}$. Упростим знаменатель, выразив все функции через $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.
$\text{ctg } \alpha - \sin 2\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Приводим к общему знаменателю: $\frac{\cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - 2 \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha}$.
Так как $1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$, знаменатель равен $\frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\sin \alpha}$.
Подставляем упрощенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{\cos 2\alpha}{\frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\sin \alpha}} = \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos 2\alpha}$.
Сокращая на $\cos 2\alpha$ (при условии, что он не равен нулю), получаем:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha$.
Ответ: $\text{tg } \alpha$.

3) Упростим выражение $\frac{2 \sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha)}{1 + \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}$.
Сначала преобразуем знаменатель. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\text{tg} x$, получаем:
$1 + \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = 1 + (-\text{tg}(2\alpha))^2 = 1 + \text{tg}^2(2\alpha)$.
Далее, используя тождество $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, знаменатель становится равен $\frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2 \sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha)}{\frac{1}{\cos^2(2\alpha)}} = 2 \sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha) \cos^2(2\alpha)$.
Заменим $\text{tg}^2 2\alpha = \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}$:
$2 \sin 4\alpha \left(1 - \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}\right) \cos^2(2\alpha) = 2 \sin 4\alpha \left(\frac{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}\right) \cos^2(2\alpha)$.
Сократив $\cos^2(2\alpha)$, получим: $2 \sin 4\alpha (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)$.
Выражение в скобках - это косинус двойного угла: $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha)$.
Выражение принимает вид: $2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha$.
Это формула синуса двойного угла: $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, для $x=4\alpha$.
$2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin(8\alpha)$.
Ответ: $\sin(8\alpha)$.

4) Упростим выражение $\frac{2 \cos^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) \sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$.
Числитель является формулой косинуса двойного угла: $2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.
Преобразуем знаменатель. Распишем котангенс по определению: $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$2 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Сократив на $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$, получим: $2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Это формула синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$:
$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos y$, получаем, что знаменатель равен $\cos(2\alpha)$.
Теперь вся дробь имеет вид:
$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$.
Ответ: $1$.

23.34. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha (\operatorname{ctg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha)}$

2) $\frac{\sin^2 3\alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 \alpha}$

3) $\frac{\cos \alpha}{\operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - \operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{2}}$

4) $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha}$

1)

Рассмотрим знаменатель выражения: $\sin^2 2\alpha (\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha)$.
Преобразуем выражение в скобках, используя определения котангенса и тангенса:
$\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$
Числитель является разностью квадратов:
$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем, что числитель равен $\cos 2\alpha$.
Таким образом, $\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{\cos 2\alpha \cdot (\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)}{\sin^2 2\alpha \cdot \cos 2\alpha}$
Сократим $\cos 2\alpha$:
$\frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 2\alpha}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{(2\sin\alpha\cos\alpha)^2} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2)

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin^2\alpha\cos^2\alpha$:
$\frac{\sin^2 3\alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 3\alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$
Числитель представляет собой разность квадратов:
$\sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 3\alpha \sin^2 \alpha = (\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha)(\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha)$
Применим формулы синуса разности и синуса суммы:
$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
Тогда числитель равен:
$\sin(3\alpha - \alpha) \sin(3\alpha + \alpha) = \sin(2\alpha)\sin(4\alpha)$
Знаменатель можно преобразовать с помощью формулы синуса двойного угла:
$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 2\alpha}{4}$
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в выражение:
$\frac{\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}{\frac{\sin^2 2\alpha}{4}} = \frac{4\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}{\sin^2 2\alpha} = \frac{4\sin(4\alpha)}{\sin(2\alpha)}$
Применим формулу синуса двойного угла для $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:
$\frac{4 \cdot 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 8\cos(2\alpha)$

Ответ: $8\cos 2\alpha$

3)

Преобразуем знаменатель:
$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - \text{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^4 \frac{\alpha}{2} - \cos^4 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$
Числитель полученной дроби является разностью квадратов:
$\sin^4 \frac{\alpha}{2} - \cos^4 \frac{\alpha}{2} = (\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \cos^2 \frac{\alpha}{2})(\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2})$
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, то $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$.
В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2}$, поэтому числитель равен $-\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = -\cos\alpha$.
Знаменатель исходного выражения равен:
$\frac{-\cos\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{\cos \alpha}{\frac{-\cos\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = -\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$, откуда $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{2}$.
Тогда выражение принимает вид:
$-(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2 = - \left(\frac{\sin\alpha}{2}\right)^2 = -\frac{\sin^2\alpha}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}\sin^2\alpha$

4)

Рассмотрим числитель: $\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
Воспользуемся формулой произведения синусов: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.
Пусть $A = \frac{\pi}{4}+\alpha$ и $B = \frac{\pi}{4}-\alpha$. Тогда:
$A-B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) - (\frac{\pi}{4}-\alpha) = 2\alpha$
$A+B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) + (\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
Числитель равен:
$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - 0) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha)$
Рассмотрим знаменатель: $\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha$.
Это формула синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
Знаменатель равен:
$\sin(3\alpha - \alpha) = \sin(2\alpha)$
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\frac{1}{2}\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \frac{1}{2}\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$

23.35. Докажите, что:

1) $ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}; $

2) $ 8 \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} = 1; $

3) $ \sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{16}. $

1) Докажем тождество $sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$.
Для этого умножим и разделим левую часть выражения на $2 \cos 18^\circ$ (это возможно, так как $\cos 18^\circ \neq 0$):
$sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$
Применим в числителе формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$\frac{\sin(2 \cdot 18^\circ) \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$
Снова применим эту же формулу, умножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ}$
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, получаем $\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{1}{4}$
Таким образом, левая часть равна правой, и равенство доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество $8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} = 1$.
Обозначим левую часть за $L$. Умножим и разделим $L$ на $\sin\frac{\pi}{9}$ (это возможно, так как $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$):
$L = \frac{8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$L = \frac{4 \cdot (2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9})\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{4\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
$L = \frac{2 \cdot (2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9})\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
$L = \frac{\sin(2 \cdot \frac{4\pi}{9})}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:
$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$
Подставляем это в выражение для $L$:
$L = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = 1$
Равенство доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество $\sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{16}$.
Преобразуем синусы в косинусы, используя формулы приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:
$\sin 6^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \cos 84^\circ$
$\sin 42^\circ = \cos(90^\circ - 42^\circ) = \cos 48^\circ$
Тогда левая часть примет вид:
$L = \cos 84^\circ \cos 48^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ$
Расположим множители в порядке возрастания углов:
$L = \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ$
Умножим и разделим выражение на $16\sin 12^\circ$ (это возможно, т.к. $\sin 12^\circ \neq 0$):
$L = \frac{16\sin 12^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ}$
Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$L = \frac{8 \cdot (2\sin 12^\circ \cos 12^\circ) \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{8 \sin 24^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ}$
$L = \frac{4 \sin 48^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{2 \sin 96^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ}$
Применим формулу приведения $\sin 96^\circ = \sin(180^\circ - 84^\circ) = \sin 84^\circ$:
$L = \frac{2 \sin 84^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 84^\circ)}{16\sin 12^\circ} = \frac{\sin 168^\circ}{16\sin 12^\circ}$
Снова используем формулу приведения $\sin 168^\circ = \sin(180^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ$:
$L = \frac{\sin 12^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{1}{16}$
Равенство доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.

23.36. Докажите, что:

1) $\sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4}$;

2) $\cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha}$.

1)

Для доказательства равенства $ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4} $ преобразуем его левую часть.
Умножим и разделим выражение на $ 2\cos 54^\circ $ (это возможно, поскольку $ \cos 54^\circ \neq 0 $):
$ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{2 \sin 54^\circ \cos 54^\circ \cos 72^\circ}{2 \cos 54^\circ} $
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. В числителе выражение $ 2 \sin 54^\circ \cos 54^\circ $ равно $ \sin(2 \cdot 54^\circ) = \sin 108^\circ $.
Получаем:
$ \frac{\sin 108^\circ \cos 72^\circ}{2 \cos 54^\circ} $
Применим формулу приведения $ \sin 108^\circ = \sin(180^\circ - 72^\circ) = \sin 72^\circ $:
$ \frac{\sin 72^\circ \cos 72^\circ}{2 \cos 54^\circ} $
Снова применим формулу синуса двойного угла для числителя, используя то, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $:
$ \frac{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 72^\circ)}{2 \cos 54^\circ} = \frac{\frac{1}{2}\sin 144^\circ}{2 \cos 54^\circ} = \frac{\sin 144^\circ}{4 \cos 54^\circ} $
Теперь используем другую формулу приведения $ \sin 144^\circ = \sin(90^\circ + 54^\circ) = \cos 54^\circ $:
$ \frac{\cos 54^\circ}{4 \cos 54^\circ} = \frac{1}{4} $
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна $ \frac{1}{4} $, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4} $.

2)

Для доказательства тождества $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha} $ преобразуем левую часть.
Заметим, что правая часть определена при $ \sin 3\alpha \neq 0 $. При этом условии умножим и разделим левую часть на $ 2\sin 3\alpha $:
$ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{2\sin 3\alpha \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2\sin 3\alpha} $
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta $, заменим в числителе $ 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha $ на $ \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha $:
$ \frac{\sin 6\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2\sin 3\alpha} $
Повторим операцию: умножим числитель и знаменатель дроби на 2 и снова применим ту же формулу:
$ \frac{2\sin 6\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2 \cdot 2\sin 3\alpha} = \frac{\sin(2 \cdot 6\alpha) \cos 12\alpha}{4\sin 3\alpha} = \frac{\sin 12\alpha \cos 12\alpha}{4\sin 3\alpha} $
Выполним это преобразование в последний раз:
$ \frac{2\sin 12\alpha \cos 12\alpha}{2 \cdot 4\sin 3\alpha} = \frac{\sin(2 \cdot 12\alpha)}{8\sin 3\alpha} = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha} $
В результате преобразований левая часть стала равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha} $.

23.37. Докажите тождество $\frac{3 + 4\cos\alpha + \cos2\alpha}{3 - 4\cos\alpha + \cos2\alpha} = \text{ctg}^4 \frac{\alpha}{2}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Сначала используем формулу косинуса двойного угла $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, чтобы выразить все тригонометрические функции через $\cos\alpha$.

Преобразуем числитель дроби:
$3 + 4\cos\alpha + \cos2\alpha = 3 + 4\cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 2$.
Вынесем общий множитель 2 и свернем выражение в полный квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$2(\cos^2\alpha + 2\cos\alpha + 1) = 2(1 + \cos\alpha)^2$.

Аналогично преобразуем знаменатель дроби:
$3 - 4\cos\alpha + \cos2\alpha = 3 - 4\cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha - 4\cos\alpha + 2$.
Вынесем общий множитель 2 и свернем выражение в полный квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$2(\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1) = 2(1 - \cos\alpha)^2$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:
$\frac{3 + 4\cos\alpha + \cos2\alpha}{3 - 4\cos\alpha + \cos2\alpha} = \frac{2(1 + \cos\alpha)^2}{2(1 - \cos\alpha)^2} = \left(\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}\right)^2$.

Теперь воспользуемся формулами половинного угла (или формулами понижения степени), чтобы перейти к аргументу $\frac{\alpha}{2}$:
$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$
$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$
Подставим эти выражения в полученную дробь:
$\left(\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}\right)^2 = \left(\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \left(\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2$.

По определению котангенса $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, следовательно, $\text{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. Применив это к нашему выражению, получаем:
$\left(\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \left(\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}\right)^2 = \text{ctg}^4\frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

23.38. Упростите выражение $\frac{\cos^4(\alpha - \pi)}{\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) - 1}$.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно преобразовать числитель и знаменатель, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.

Упрощение числителя
В числителе находится выражение $\cos^4(\alpha - \pi)$. Воспользуемся свойством четности функции косинус $\cos(-x) = \cos(x)$ и формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos^4(\alpha - \pi) = (\cos(\alpha - \pi))^4 = (\cos(-(\pi - \alpha)))^4 = (\cos(\pi - \alpha))^4 = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha$.

Упрощение знаменателя
Знаменатель равен $\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) - 1$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности с помощью формул приведения:
1. Для $\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)$: сначала преобразуем $\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$.
Следовательно, $\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = (-\sin\alpha)^4 = \sin^4\alpha$.
2. Для $\sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)$: сначала преобразуем $\sin\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos\alpha$.
Следовательно, $\sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha$.
Теперь подставим упрощенные выражения в знаменатель:
$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - 1$.
Воспользуемся тождеством $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$. Это тождество получается из основного тригонометрического тождества: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 \Rightarrow \sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = 1$.
Таким образом, знаменатель становится равен:
$(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 = -2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Итоговое упрощение
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$\frac{\cos^4\alpha}{-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$.
Сократим дробь на $\cos^2\alpha$. Это возможно, так как для области определения исходного выражения знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$.
$\frac{\cos^2\alpha}{-2\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2}\cot^2\alpha$.
Ответ: $-\frac{1}{2}\cot^2\alpha$.

23.39. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{x+4}{x^2-4}$;

2) $\frac{x^2-4}{x^2+4}$;

3) $\sqrt{6-7x}$;

4) $\frac{9}{\sqrt{3x+6}}$;

5) $\sqrt{7x-42} + \frac{1}{x^2-8x}$;

6) $\sqrt{-x^2+3x+4}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{x^2+4x-12}}$;

8) $\frac{x+2}{\sqrt{35+2x-x^2}} + \frac{2}{\sqrt{8-4x}}$?

1) Выражение $\frac{x+4}{x^2 - 4}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
$x = 2$ или $x = -2$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$ и $x = -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2) Выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель $x^2 + 4$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$.
Знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{6 - 7x}$ содержит квадратный корень. Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Решим неравенство:
$6 - 7x \ge 0$
$-7x \ge -6$
$x \le \frac{6}{7}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{7}]$.

4) Выражение $\frac{9}{\sqrt{3x + 6}}$ имеет квадратный корень в знаменателе. Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля.
Решим неравенство:
$3x + 6 > 0$
$3x > -6$
$x > -2$
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{7x - 42} + \frac{1}{x^2 - 8x}$ является суммой двух слагаемых. Оно имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{7x - 42}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$7x - 42 \ge 0$
$7x \ge 42$
$x \ge 6$
2. Для слагаемого $\frac{1}{x^2 - 8x}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 8x \neq 0$
$x(x - 8) \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq 8$.
Найдем пересечение этих условий. Мы должны удовлетворить неравенству $x \ge 6$ и исключить значения $x=0$ и $x=8$.
Условие $x \neq 0$ выполняется, так как $x \ge 6$.
Остается условие $x \ge 6$ и $x \neq 8$.
Ответ: $x \in [6; 8) \cup (8; +\infty)$.

6) Выражение $\sqrt{-x^2 + 3x + 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Решим неравенство:
$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 3x - 4 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).
Следовательно, $x \in [-1; 4]$.
Ответ: $x \in [-1; 4]$.

7) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$ имеет квадратный корень в знаменателе. Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля.
Решим неравенство:
$x^2 + 4x - 12 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 12$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, $x < -6$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

8) Выражение $\frac{x+2}{\sqrt{35 + 2x - x^2}} + \frac{2}{\sqrt{8 - 4x}}$ является суммой двух слагаемых. Оно имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл. Оба слагаемых имеют квадратный корень в знаменателе, поэтому подкоренные выражения должны быть строго положительными.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} 35 + 2x - x^2 > 0 \\ 8 - 4x > 0 \end{cases}$
Решим второе неравенство:
$8 - 4x > 0$
$-4x > -8$
$x < 2$
Решим первое неравенство:
$35 + 2x - x^2 > 0$
Умножим на -1 и изменим знак:
$x^2 - 2x - 35 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 35$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $-5 < x < 7$.
Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x < 2$ и $-5 < x < 7$.
Пересечением является интервал $(-5; 2)$.
Ответ: $x \in (-5; 2)$.