Номер 23.39, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.39. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{x+4}{x^2-4}$;

2) $\frac{x^2-4}{x^2+4}$;

3) $\sqrt{6-7x}$;

4) $\frac{9}{\sqrt{3x+6}}$;

5) $\sqrt{7x-42} + \frac{1}{x^2-8x}$;

6) $\sqrt{-x^2+3x+4}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{x^2+4x-12}}$;

8) $\frac{x+2}{\sqrt{35+2x-x^2}} + \frac{2}{\sqrt{8-4x}}$?

1) Выражение $\frac{x+4}{x^2 - 4}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
$x = 2$ или $x = -2$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$ и $x = -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2) Выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель $x^2 + 4$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$.
Знаменатель никогда не обращается в ноль.
Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Выражение $\sqrt{6 - 7x}$ содержит квадратный корень. Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Решим неравенство:
$6 - 7x \ge 0$
$-7x \ge -6$
$x \le \frac{6}{7}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{7}]$.

4) Выражение $\frac{9}{\sqrt{3x + 6}}$ имеет квадратный корень в знаменателе. Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля.
Решим неравенство:
$3x + 6 > 0$
$3x > -6$
$x > -2$
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{7x - 42} + \frac{1}{x^2 - 8x}$ является суммой двух слагаемых. Оно имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{7x - 42}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$7x - 42 \ge 0$
$7x \ge 42$
$x \ge 6$
2. Для слагаемого $\frac{1}{x^2 - 8x}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 8x \neq 0$
$x(x - 8) \neq 0$
$x \neq 0$ и $x \neq 8$.
Найдем пересечение этих условий. Мы должны удовлетворить неравенству $x \ge 6$ и исключить значения $x=0$ и $x=8$.
Условие $x \neq 0$ выполняется, так как $x \ge 6$.
Остается условие $x \ge 6$ и $x \neq 8$.
Ответ: $x \in [6; 8) \cup (8; +\infty)$.

6) Выражение $\sqrt{-x^2 + 3x + 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Решим неравенство:
$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 3x - 4 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).
Следовательно, $x \in [-1; 4]$.
Ответ: $x \in [-1; 4]$.

7) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x - 12}}$ имеет квадратный корень в знаменателе. Оно имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля.
Решим неравенство:
$x^2 + 4x - 12 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 12$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Следовательно, $x < -6$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (2; +\infty)$.

8) Выражение $\frac{x+2}{\sqrt{35 + 2x - x^2}} + \frac{2}{\sqrt{8 - 4x}}$ является суммой двух слагаемых. Оно имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл. Оба слагаемых имеют квадратный корень в знаменателе, поэтому подкоренные выражения должны быть строго положительными.
Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} 35 + 2x - x^2 > 0 \\ 8 - 4x > 0 \end{cases}$
Решим второе неравенство:
$8 - 4x > 0$
$-4x > -8$
$x < 2$
Решим первое неравенство:
$35 + 2x - x^2 > 0$
Умножим на -1 и изменим знак:
$x^2 - 2x - 35 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 35$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $-5 < x < 7$.
Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x < 2$ и $-5 < x < 7$.
Пересечением является интервал $(-5; 2)$.
Ответ: $x \in (-5; 2)$.