Номер 24.3, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.3. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 8\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 8\alpha + \cos 2\alpha}$;

2) $\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 5\alpha - \cos \alpha}$;

3) $\frac{\cos 74^\circ - \cos 14^\circ}{\sin 74^\circ + \sin 14^\circ}$.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Формула суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $\sin 8\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\left(\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{8\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \sin(5\alpha) \cos(3\alpha)$

Знаменатель: $\cos 8\alpha + \cos 2\alpha = 2 \cos\left(\frac{8\alpha+2\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{8\alpha-2\alpha}{2}\right) = 2 \cos(5\alpha) \cos(3\alpha)$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 8\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 8\alpha + \cos 2\alpha} = \frac{2 \sin(5\alpha) \cos(3\alpha)}{2 \cos(5\alpha) \cos(3\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos(3\alpha)$ (при условии, что $\cos(3\alpha) \neq 0$):

$\frac{\sin(5\alpha)}{\cos(5\alpha)} = \tan(5\alpha)$

Ответ: $\tan(5\alpha)$

2) Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

Формула разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Формула разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $\sin 5\alpha - \sin \alpha = 2 \cos\left(\frac{5\alpha+\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right) = 2 \cos(3\alpha) \sin(2\alpha)$

Знаменатель: $\cos 5\alpha - \cos \alpha = -2 \sin\left(\frac{5\alpha+\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right) = -2 \sin(3\alpha) \sin(2\alpha)$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 5\alpha - \cos \alpha} = \frac{2 \cos(3\alpha) \sin(2\alpha)}{-2 \sin(3\alpha) \sin(2\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(2\alpha)$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(3\alpha)}{-\sin(3\alpha)} = -\cot(3\alpha)$

Ответ: $-\cot(3\alpha)$

3) Для упрощения этого выражения также используем формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

Формула разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Формула суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби, где $x = 74^\circ$ и $y = 14^\circ$.

Числитель: $\cos 74^\circ - \cos 14^\circ = -2 \sin\left(\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{74^\circ-14^\circ}{2}\right) = -2 \sin(44^\circ) \sin(30^\circ)$

Знаменатель: $\sin 74^\circ + \sin 14^\circ = 2 \sin\left(\frac{74^\circ+14^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{74^\circ-14^\circ}{2}\right) = 2 \sin(44^\circ) \cos(30^\circ)$

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\cos 74^\circ - \cos 14^\circ}{\sin 74^\circ + \sin 14^\circ} = \frac{-2 \sin(44^\circ) \sin(30^\circ)}{2 \sin(44^\circ) \cos(30^\circ)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(44^\circ)$:

$\frac{-\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = -\tan(30^\circ)$

Значение тангенса 30 градусов является табличным: $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, выражение равно $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$