Номер 24.7, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.7. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\cos\alpha$;

2) $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$;

3) $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 - 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем множитель $2$ за скобки. Затем представим число $\frac{1}{2}$ как значение косинуса известного угла. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

$1 - 2\cos\alpha = 2\left(\frac{1}{2} - \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\right)$

Далее применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$2\left(\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $-4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

2) Для преобразования выражения $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем множитель $2$ за скобки. Затем представим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как значение косинуса известного угла. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sqrt{3} + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\right)$

Далее применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

3) Для преобразования выражения $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$ в произведение, вынесем множитель $\sqrt{2}$ за скобки. Затем представим число $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (что равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$) как значение синуса известного угла. Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$1 - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\alpha\right) = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\right)$

Далее применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\right) = \sqrt{2} \cdot \left(2\sin\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)$