Номер 24.14, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.14. Упростите выражение $3\sqrt[3]{-2} + 4\sqrt[3]{16} + 6\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - 2\sqrt[3]{-6\frac{3}{4}} - \sqrt[3]{24}$

Для упрощения данного выражения преобразуем каждый его член так, чтобы под знаком кубического корня остались одинаковые числа.

Исходное выражение: $3\sqrt[3]{-2} + 4\sqrt[3]{16} + 6\sqrt[3]{\frac{1}{9}} - 2\sqrt[3]{-6\frac{3}{4}} - \sqrt[3]{24}$

Упростим каждый член по отдельности:

1. Первый член: $3\sqrt[3]{-2} = -3\sqrt[3]{2}$.

2. Второй член: $4\sqrt[3]{16} = 4\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 4 \cdot 2\sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2}$.

3. Третий член: $6\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$. Чтобы сделать знаменатель под корнем кубом, умножим числитель и знаменатель дроби на 3: $6\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3}} = 6\sqrt[3]{\frac{3}{27}} = 6\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}} = 6\frac{\sqrt[3]{3}}{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

4. Четвертый член: $-2\sqrt[3]{-6\frac{3}{4}}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-6\frac{3}{4} = -\frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{27}{4}$.Получаем: $-2\sqrt[3]{-\frac{27}{4}} = -2(-\sqrt[3]{\frac{27}{4}}) = 2\sqrt[3]{\frac{27}{4}} = 2\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{4}} = 2\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{6}{\sqrt[3]{4}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{2}$:$\frac{6\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}} = \frac{6\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{6\sqrt[3]{2}}{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

5. Пятый член: $-\sqrt[3]{24} = -\sqrt[3]{8 \cdot 3} = -\sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = -2\sqrt[3]{3}$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение и выполним сложение и вычитание:

$-3\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $\sqrt[3]{2}$ и члены с $\sqrt[3]{3}$):

$(-3\sqrt[3]{2} + 8\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{2}) + (2\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3})$

Вынесем общие множители за скобки:

$(-3 + 8 + 3)\sqrt[3]{2} + (2 - 2)\sqrt[3]{3}$

$8\sqrt[3]{2} + 0 \cdot \sqrt[3]{3}$

$8\sqrt[3]{2}$

Ответ: $8\sqrt[3]{2}$