Номер 24.10, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.10. Докажите тождество:

1) $\sin 5\alpha + \sin 6\alpha + \sin 7\alpha + \sin 8\alpha = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{13\alpha}{2};$

2) $\sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \cos \frac{3\alpha}{2};$

3) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin (\alpha - \beta) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2};$

4) $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)\sin (\alpha - \beta);$

5) $\frac{\cos \alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin \alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha;$

6) $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2};$

7) $\frac{\sin 2\alpha \cos 4\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)} = \frac{1}{2};$

8) $\left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha}\right)\left(\frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}\right) = 4 \operatorname{ctg} \alpha.$

1)

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества. Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \text{ЛЧ} = (\sin 5\alpha + \sin 8\alpha) + (\sin 6\alpha + \sin 7\alpha) = $

$ = \left(2\sin\frac{5\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-5\alpha}{2}\right) + \left(2\sin\frac{6\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-6\alpha}{2}\right) = $

$ = 2\sin\frac{13\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} + 2\sin\frac{13\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2\sin\frac{13\alpha}{2} $ за скобки:

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{13\alpha}{2}\left(\cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = 2\cos\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2} $.

Подставим результат в выражение для левой части:

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{13\alpha}{2} \cdot \left(2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}\right) = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{13\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества, сгруппировав слагаемые: $ (\sin 3\alpha + \sin \alpha) - \sin 2\alpha $.

Применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos\alpha $.

Подставим в ЛЧ: $ \text{ЛЧ} = 2\sin 2\alpha \cos\alpha - \sin 2\alpha = \sin 2\alpha (2\cos\alpha - 1) $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x\cos x $ и формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \Rightarrow 2\cos x - 1 = 2(2\cos^2\frac{x}{2}-1)-1 = 4\cos^2\frac{x}{2} - 3 $, что усложняет.Попробуем другую группировку: $ (\sin \alpha - \sin 2\alpha) + \sin 3\alpha $.Лучше сгруппируем так: $ (\sin 3\alpha - \sin 2\alpha) + \sin \alpha $.Применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+2\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos\frac{5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} $.

Тогда $ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\alpha $. Используем $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $:

$ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{5\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Применим формулу суммы косинусов:

$ \cos\frac{5\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{5\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{5\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = 2\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha $.

Окончательно для ЛЧ:

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(2\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha\right) = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\cos\frac{3\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть (ЛЧ): $ (\sin\alpha + \sin\beta) + \sin(\alpha-\beta) $.

Используем формулу суммы синусов для первых двух слагаемых $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

А для третьего слагаемого используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $: $ \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha+\beta}{2} + \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов:

$ \sin\frac{\alpha+\beta}{2} + \sin\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} $.

Подставим результат в выражение для ЛЧ:

$ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \cdot \left(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\right) = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем правую часть (ПЧ) тождества, используя формулу произведения синусов $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

$ \text{ПЧ} = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)) - \cos((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta))) = $

$ = \frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha)) $.

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1-2\sin^2 x $:

$ \text{ПЧ} = \frac{1}{2}((1-2\sin^2\beta) - (1-2\sin^2\alpha)) = \frac{1}{2}(1-2\sin^2\beta - 1+2\sin^2\alpha) = $

$ = \frac{1}{2}(2\sin^2\alpha - 2\sin^2\beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $.

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части (ЛЧ).

Числитель: $ (\cos\alpha + \cos 5\alpha) - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.

Используя $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $, получаем:

$ \cos 5\alpha + \cos\alpha = 2\cos 3\alpha\cos 2\alpha $.

$ \cos 4\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos 3\alpha\cos\alpha $.

Числитель $ = 2\cos 3\alpha\cos 2\alpha - 2\cos 3\alpha\cos\alpha = 2\cos 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Знаменатель: $ (\sin\alpha + \sin 5\alpha) - (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) $.

Используя $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $, получаем:

$ \sin 5\alpha + \sin\alpha = 2\sin 3\alpha\cos 2\alpha $.

$ \sin 4\alpha + \sin 2\alpha = 2\sin 3\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель $ = 2\sin 3\alpha\cos 2\alpha - 2\sin 3\alpha\cos\alpha = 2\sin 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Теперь составим дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2\cos 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha)}{2\sin 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha)} $.

При условии $ \cos 2\alpha - \cos\alpha \neq 0 $, сокращаем дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Раскроем квадраты в левой части (ЛЧ):

$ \text{ЛЧ} = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) + (\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) $.

Сгруппируем слагаемые:

$ \text{ЛЧ} = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y $:

$ \text{ЛЧ} = 1 + 1 + 2\cos(\alpha-\beta) = 2 + 2\cos(\alpha-\beta) = 2(1 + \cos(\alpha-\beta)) $.

Применим формулу понижения степени $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $, где $ 2x = \alpha-\beta $:

$ \text{ЛЧ} = 2 \cdot (2\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}) = 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Сначала упростим знаменатель.

Знаменатель: $ (\sin 3\alpha + \sin\alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha) $.

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$ \sin 3\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha\cos\alpha $.

$ \cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель $ = (2\sin 2\alpha\cos\alpha)(2\cos 4\alpha\cos\alpha) = 4\sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2\alpha $.

Теперь упростим числитель, используя формулу $ 1+\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha $:

Числитель $ = \sin 2\alpha \cos 4\alpha (1+\cos 2\alpha) = \sin 2\alpha \cos 4\alpha (2\cos^2\alpha) $.

Составим дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2\alpha}{4\sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2\alpha} $.

При условии, что $ \sin 2\alpha \neq 0, \cos 4\alpha \neq 0, \cos\alpha \neq 0 $, сокращаем дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8)

Преобразуем левую часть (ЛЧ), упростив каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $ \frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 4\alpha\cos\alpha - \cos 4\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

В числителе формула синуса разности: $ \sin(4\alpha-\alpha) = \sin 3\alpha $.

В знаменателе формула синуса двойного угла: $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $.

Первая скобка $ = \frac{\sin 3\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha} $.

Вторая скобка: $ \frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} $.

В числителе формула суммы синусов: $ \sin 3\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha\cos\alpha $.

Вторая скобка $ = \frac{2\sin 2\alpha\cos\alpha}{\sin 3\alpha\sin\alpha} $.

Перемножим упрощенные выражения:

$ \text{ЛЧ} = \left(\frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha}\right) \cdot \left(\frac{2\sin 2\alpha\cos\alpha}{\sin 3\alpha\sin\alpha}\right) = \frac{4\sin 3\alpha\sin 2\alpha\cos\alpha}{\sin 2\alpha\sin 3\alpha\sin\alpha} $.

При условии, что $ \sin 2\alpha \neq 0, \sin 3\alpha \neq 0, \sin\alpha \neq 0 $, сокращаем общие множители:

$ \text{ЛЧ} = \frac{4\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4\operatorname{ctg}\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.