Номер 25.3, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.3. Упростите выражение:

1) $2 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ}$;

2) $\sin \alpha(1 + 2 \cos 2\alpha)$;

3) $2 \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha$;

4) $\cos 2\alpha + 2 \sin (\alpha + 30^{\circ}) \sin (\alpha - 30^{\circ})$.

1) Упростим выражение $2\cos20^\circ\cos40^\circ - \cos20^\circ$.

Для преобразования произведения косинусов в сумму воспользуемся формулой $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$.

В нашем случае $A=40^\circ$ и $B=20^\circ$. Применим формулу к первому слагаемому $2\cos20^\circ\cos40^\circ$:

$2\cos40^\circ\cos20^\circ = \cos(40^\circ - 20^\circ) + \cos(40^\circ + 20^\circ) = \cos20^\circ + \cos60^\circ$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(\cos20^\circ + \cos60^\circ) - \cos20^\circ = \cos20^\circ - \cos20^\circ + \cos60^\circ = \cos60^\circ$.

Мы знаем, что значение $\cos60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Упростим выражение $\sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha)$.

Сначала раскроем скобки:

$\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha$.

Теперь используем формулу преобразования произведения в сумму $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Здесь $A=\alpha$ и $B=2\alpha$. Применим формулу к слагаемому $2\sin\alpha\cos2\alpha$:

$2\sin\alpha\cos2\alpha = \sin(\alpha+2\alpha) + \sin(\alpha-2\alpha) = \sin(3\alpha) + \sin(-\alpha)$.

Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно, $2\sin\alpha\cos2\alpha = \sin(3\alpha) - \sin\alpha$.

Подставим полученное выражение обратно:

$\sin\alpha + (\sin(3\alpha) - \sin\alpha) = \sin\alpha + \sin(3\alpha) - \sin\alpha = \sin(3\alpha)$.

Ответ: $\sin(3\alpha)$

3) Упростим выражение $2\cos\alpha\cos2\alpha - \cos3\alpha$.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ для члена $2\cos\alpha\cos2\alpha$.

Пусть $A=2\alpha$ и $B=\alpha$.

$2\cos2\alpha\cos\alpha = \cos(2\alpha-\alpha) + \cos(2\alpha+\alpha) = \cos\alpha + \cos(3\alpha)$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\cos\alpha + \cos3\alpha) - \cos3\alpha = \cos\alpha + \cos3\alpha - \cos3\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$

4) Упростим выражение $\cos2\alpha + 2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ)$.

Для преобразования произведения синусов используем формулу $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.

В нашем случае $A = \alpha + 30^\circ$ и $B = \alpha - 30^\circ$.

Найдем разность и сумму углов $A$ и $B$:

$A-B = (\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ) = \alpha + 30^\circ - \alpha + 30^\circ = 60^\circ$.

$A+B = (\alpha + 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ) = 2\alpha$.

Применив формулу, получаем:

$2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ) = \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\cos2\alpha + (\cos60^\circ - \cos2\alpha) = \cos2\alpha + \cos60^\circ - \cos2\alpha = \cos60^\circ$.

Табличное значение $\cos60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$