Номер 25.9, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.9. Докажите, что:

1) $16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 3$;

2) $8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 1$.

1) Докажем тождество $16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 3$.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ). Подставим известное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$ЛЧ = 16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 80^\circ = 8\sqrt{3} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$.

Воспользуемся тождеством для произведения синусов: $\sin \alpha \cdot \sin(60^\circ - \alpha) \cdot \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \sin(3\alpha)$.

В нашем случае, при $\alpha = 20^\circ$, имеем $60^\circ - \alpha = 40^\circ$ и $60^\circ + \alpha = 80^\circ$. Применяя тождество, получаем:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Теперь подставим этот результат обратно в преобразованное выражение для левой части:

$ЛЧ = 8\sqrt{3} \cdot (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = 3$.

Левая часть равна 3, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем тождество $8 \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 1$.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ). Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ для каждого множителя:

$\sin 10^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \cos 80^\circ$
$\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$
$\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$

Подставим эти выражения в левую часть и переставим множители в порядке возрастания углов:

$ЛЧ = 8 \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 8 \cos 80^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ = 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

Для упрощения этого произведения умножим и разделим его на $2 \sin 20^\circ$ и затем последовательно применим формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$ЛЧ = \frac{8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \cdot (2 \sin 20^\circ)}{2 \sin 20^\circ} = \frac{4 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$.

Продолжаем упрощение, снова применяя формулу двойного угла:

$\frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Подставляя это в наше выражение, получаем конечный результат:

$\frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1$.

Левая часть равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.