Номер 25.11, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.11. Докажите равенство:

1) $cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}$;

2) $sin 10^{\circ} + sin 20^{\circ} + \dots + sin 50^{\circ} = \frac{\sin 25^{\circ}}{2 \sin 5^{\circ}}$.

1) Докажем равенство $ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} $.

Обозначим левую часть равенства как $S$:
$ S = \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} $.

Умножим обе части этого выражения на $ 2\sin\frac{\pi}{7} $. Заметим, что $ \sin\frac{\pi}{7} \neq 0 $.
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} $.

Используем формулу произведения синуса на косинус: $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $.
Преобразуем каждое слагаемое в правой части:

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{2\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} + \sin(-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7} $.

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{4\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{4\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} + \sin(-\frac{3\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7} $.

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{6\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{6\pi}{7}) = \sin\frac{7\pi}{7} + \sin(-\frac{5\pi}{7}) = \sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7} = 0 - \sin\frac{5\pi}{7} = -\sin\frac{5\pi}{7} $.

Теперь сложим полученные выражения:
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = (\sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}) + (\sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}) + (-\sin\frac{5\pi}{7}) $.

В правой части слагаемые попарно уничтожаются (получается телескопическая сумма):
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7} + \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{5\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7} $.

Получаем уравнение:
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7} $.

Так как $ \sin\frac{\pi}{7} \neq 0 $, можем разделить обе части на $ 2\sin\frac{\pi}{7} $:
$ S = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{2} $.

Таким образом, мы доказали, что $ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $ \sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \dots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2 \sin 5^\circ} $.

Обозначим левую часть равенства как $S$. Распишем все слагаемые суммы:
$ S = \sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \sin 30^\circ + \sin 40^\circ + \sin 50^\circ $.

Это сумма синусов, углы которых составляют арифметическую прогрессию с первым членом $ a_1 = 10^\circ $ и разностью $ d = 10^\circ $.
Умножим обе части на $ 2\sin\frac{d}{2} = 2\sin\frac{10^\circ}{2} = 2\sin 5^\circ $. Заметим, что $ \sin 5^\circ \neq 0 $.

$ 2S\sin 5^\circ = 2\sin 5^\circ\sin 10^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 20^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 30^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 40^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 50^\circ $.

Используем формулу произведения синусов: $ 2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $.
Преобразуем каждое слагаемое в правой части:

$ 2\sin 10^\circ\sin 5^\circ = \cos(10^\circ-5^\circ) - \cos(10^\circ+5^\circ) = \cos 5^\circ - \cos 15^\circ $.

$ 2\sin 20^\circ\sin 5^\circ = \cos(20^\circ-5^\circ) - \cos(20^\circ+5^\circ) = \cos 15^\circ - \cos 25^\circ $.

$ 2\sin 30^\circ\sin 5^\circ = \cos(30^\circ-5^\circ) - \cos(30^\circ+5^\circ) = \cos 25^\circ - \cos 35^\circ $.

$ 2\sin 40^\circ\sin 5^\circ = \cos(40^\circ-5^\circ) - \cos(40^\circ+5^\circ) = \cos 35^\circ - \cos 45^\circ $.

$ 2\sin 50^\circ\sin 5^\circ = \cos(50^\circ-5^\circ) - \cos(50^\circ+5^\circ) = \cos 45^\circ - \cos 55^\circ $.

Сложим полученные выражения. Сумма является телескопической:
$ 2S\sin 5^\circ = (\cos 5^\circ - \cos 15^\circ) + (\cos 15^\circ - \cos 25^\circ) + (\cos 25^\circ - \cos 35^\circ) + (\cos 35^\circ - \cos 45^\circ) + (\cos 45^\circ - \cos 55^\circ) $.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:
$ 2S\sin 5^\circ = \cos 5^\circ - \cos 55^\circ $.

Теперь применим формулу разности косинусов: $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos 5^\circ - \cos 55^\circ = -2\sin\frac{5^\circ+55^\circ}{2}\sin\frac{5^\circ-55^\circ}{2} = -2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{-50^\circ}{2} = -2\sin 30^\circ\sin(-25^\circ) $.

Так как $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $ и $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 25^\circ) = \sin 25^\circ $.

Итак, мы пришли к равенству:
$ 2S\sin 5^\circ = \sin 25^\circ $.

Разделим обе части на $ 2\sin 5^\circ $:
$ S = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ} $.

Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.