Страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.11. Докажите равенство:

1) $cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}$;

2) $sin 10^{\circ} + sin 20^{\circ} + \dots + sin 50^{\circ} = \frac{\sin 25^{\circ}}{2 \sin 5^{\circ}}$.

1) Докажем равенство $ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} $.

Обозначим левую часть равенства как $S$:
$ S = \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} $.

Умножим обе части этого выражения на $ 2\sin\frac{\pi}{7} $. Заметим, что $ \sin\frac{\pi}{7} \neq 0 $.
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} $.

Используем формулу произведения синуса на косинус: $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $.
Преобразуем каждое слагаемое в правой части:

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{2\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} + \sin(-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7} $.

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{4\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{4\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} + \sin(-\frac{3\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7} $.

$ 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{6\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{6\pi}{7}) = \sin\frac{7\pi}{7} + \sin(-\frac{5\pi}{7}) = \sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7} = 0 - \sin\frac{5\pi}{7} = -\sin\frac{5\pi}{7} $.

Теперь сложим полученные выражения:
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = (\sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}) + (\sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}) + (-\sin\frac{5\pi}{7}) $.

В правой части слагаемые попарно уничтожаются (получается телескопическая сумма):
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7} + \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{5\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7} $.

Получаем уравнение:
$ 2S\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7} $.

Так как $ \sin\frac{\pi}{7} \neq 0 $, можем разделить обе части на $ 2\sin\frac{\pi}{7} $:
$ S = \frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{2} $.

Таким образом, мы доказали, что $ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} $.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $ \sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \dots + \sin 50^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{2 \sin 5^\circ} $.

Обозначим левую часть равенства как $S$. Распишем все слагаемые суммы:
$ S = \sin 10^\circ + \sin 20^\circ + \sin 30^\circ + \sin 40^\circ + \sin 50^\circ $.

Это сумма синусов, углы которых составляют арифметическую прогрессию с первым членом $ a_1 = 10^\circ $ и разностью $ d = 10^\circ $.
Умножим обе части на $ 2\sin\frac{d}{2} = 2\sin\frac{10^\circ}{2} = 2\sin 5^\circ $. Заметим, что $ \sin 5^\circ \neq 0 $.

$ 2S\sin 5^\circ = 2\sin 5^\circ\sin 10^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 20^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 30^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 40^\circ + 2\sin 5^\circ\sin 50^\circ $.

Используем формулу произведения синусов: $ 2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) $.
Преобразуем каждое слагаемое в правой части:

$ 2\sin 10^\circ\sin 5^\circ = \cos(10^\circ-5^\circ) - \cos(10^\circ+5^\circ) = \cos 5^\circ - \cos 15^\circ $.

$ 2\sin 20^\circ\sin 5^\circ = \cos(20^\circ-5^\circ) - \cos(20^\circ+5^\circ) = \cos 15^\circ - \cos 25^\circ $.

$ 2\sin 30^\circ\sin 5^\circ = \cos(30^\circ-5^\circ) - \cos(30^\circ+5^\circ) = \cos 25^\circ - \cos 35^\circ $.

$ 2\sin 40^\circ\sin 5^\circ = \cos(40^\circ-5^\circ) - \cos(40^\circ+5^\circ) = \cos 35^\circ - \cos 45^\circ $.

$ 2\sin 50^\circ\sin 5^\circ = \cos(50^\circ-5^\circ) - \cos(50^\circ+5^\circ) = \cos 45^\circ - \cos 55^\circ $.

Сложим полученные выражения. Сумма является телескопической:
$ 2S\sin 5^\circ = (\cos 5^\circ - \cos 15^\circ) + (\cos 15^\circ - \cos 25^\circ) + (\cos 25^\circ - \cos 35^\circ) + (\cos 35^\circ - \cos 45^\circ) + (\cos 45^\circ - \cos 55^\circ) $.

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:
$ 2S\sin 5^\circ = \cos 5^\circ - \cos 55^\circ $.

Теперь применим формулу разности косинусов: $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $.
$ \cos 5^\circ - \cos 55^\circ = -2\sin\frac{5^\circ+55^\circ}{2}\sin\frac{5^\circ-55^\circ}{2} = -2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{-50^\circ}{2} = -2\sin 30^\circ\sin(-25^\circ) $.

Так как $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $ и $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:
$ -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 25^\circ) = \sin 25^\circ $.

Итак, мы пришли к равенству:
$ 2S\sin 5^\circ = \sin 25^\circ $.

Разделим обе части на $ 2\sin 5^\circ $:
$ S = \frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ} $.

Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

25.12. Докажите равенство $ \cos \frac{\pi}{19} + \cos \frac{3\pi}{19} + \dots + \cos \frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2} $.

Обозначим левую часть равенства через $S$:$S = \cos\frac{\pi}{19} + \cos\frac{3\pi}{19} + \cos\frac{5\pi}{19} + \dots + \cos\frac{17\pi}{19}$.

Данное выражение является суммой косинусов, углы которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом $\alpha = \frac{\pi}{19}$ и разностью $d = \frac{2\pi}{19}$. Количество слагаемых в сумме равно 9. Для нахождения значения этой суммы умножим обе части на $2\sin\frac{d}{2} = 2\sin\frac{\pi}{19}$. Так как $\frac{\pi}{19}$ не кратно $\pi$, то $\sin\frac{\pi}{19} \neq 0$.

$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = 2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + 2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + \dots + 2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинуса на синус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$. Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части равенства:
$2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{2\pi}{19}$
$2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin(\frac{3\pi}{19}+\frac{\pi}{19}) - \sin(\frac{3\pi}{19}-\frac{\pi}{19}) = \sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}$
$2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin(\frac{5\pi}{19}+\frac{\pi}{19}) - \sin(\frac{5\pi}{19}-\frac{\pi}{19}) = \sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}$
...
Последнее слагаемое:
$2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin(\frac{17\pi}{19}+\frac{\pi}{19}) - \sin(\frac{17\pi}{19}-\frac{\pi}{19}) = \sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19}$

Теперь сложим все полученные выражения. В правой части образуется телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:
$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{2\pi}{19} + (\sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}) + (\sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}) + \dots + (\sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19})$.

После сокращения всех промежуточных членов остается только $\sin\frac{18\pi}{19}$:
$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{18\pi}{19}$.

Используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$:
$\sin\frac{18\pi}{19} = \sin(\pi - \frac{\pi}{19}) = \sin\frac{\pi}{19}$.

Подставим это в наше равенство:
$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{\pi}{19}$.

Поскольку $\sin\frac{\pi}{19} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin\frac{\pi}{19}$:
$2S = 1$
$S = \frac{1}{2}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

25.13. Задайте формулой линейную функцию $y = f(x)$, если $f(-10) = -2$, $f(5) = 1$.

Линейная функция в общем виде задается формулой $y = kx + b$. Чтобы найти формулу для функции $y = f(x)$, нам необходимо определить значения коэффициентов $k$ и $b$.

Из условия нам даны два значения функции, которые представляют собой координаты двух точек, принадлежащих графику этой функции:

• $f(-10) = -2$ означает, что при $x_1 = -10$, $y_1 = -2$. Это точка $(-10; -2)$.
• $f(5) = 1$ означает, что при $x_2 = 5$, $y_2 = 1$. Это точка $(5; 1)$.

Подставим координаты этих двух точек в уравнение $y = kx + b$. Это позволит нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:

$ \begin{cases} -2 = k \cdot (-10) + b \\ 1 = k \cdot 5 + b \end{cases} $

Запишем систему в стандартном виде:

$ \begin{cases} -10k + b = -2 \\ 5k + b = 1 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $b$:

$(5k + b) - (-10k + b) = 1 - (-2)$

$5k + b + 10k - b = 1 + 2$

$15k = 3$

Теперь найдем $k$:

$k = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Теперь, зная значение $k$, мы можем найти $b$, подставив $k = \frac{1}{5}$ в любое из уравнений системы. Используем второе уравнение $5k + b = 1$:

$5 \cdot (\frac{1}{5}) + b = 1$

$1 + b = 1$

$b = 1 - 1 = 0$

Мы нашли значения обоих коэффициентов: $k = \frac{1}{5}$ и $b = 0$.

Подставляем эти значения в общую формулу линейной функции $y = kx + b$:

$y = \frac{1}{5}x + 0$

$y = \frac{1}{5}x$

Ответ: $f(x) = \frac{1}{5}x$

25.14. Найдите нули функции $y = \frac{x}{3} - \frac{2}{x}$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули данной функции, необходимо решить уравнение $y=0$.

Запишем уравнение:

$\frac{x}{3} - \frac{2}{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции определяется условием, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $3x$:

$\frac{x \cdot x}{3x} - \frac{2 \cdot 3}{3x} = 0$

$\frac{x^2 - 6}{3x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 6 = 0 \\ 3x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 6$

$x_1 = \sqrt{6}$

$x_2 = -\sqrt{6}$

Оба найденных корня удовлетворяют условию $x \neq 0$. Следовательно, они являются нулями исходной функции.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.