Номер 25.12, страница 185 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.12. Докажите равенство $ \cos \frac{\pi}{19} + \cos \frac{3\pi}{19} + \dots + \cos \frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2} $.

Обозначим левую часть равенства через $S$:$S = \cos\frac{\pi}{19} + \cos\frac{3\pi}{19} + \cos\frac{5\pi}{19} + \dots + \cos\frac{17\pi}{19}$.

Данное выражение является суммой косинусов, углы которых образуют арифметическую прогрессию с первым членом $\alpha = \frac{\pi}{19}$ и разностью $d = \frac{2\pi}{19}$. Количество слагаемых в сумме равно 9. Для нахождения значения этой суммы умножим обе части на $2\sin\frac{d}{2} = 2\sin\frac{\pi}{19}$. Так как $\frac{\pi}{19}$ не кратно $\pi$, то $\sin\frac{\pi}{19} \neq 0$.

$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = 2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + 2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + \dots + 2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинуса на синус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$. Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части равенства:
$2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{2\pi}{19}$
$2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin(\frac{3\pi}{19}+\frac{\pi}{19}) - \sin(\frac{3\pi}{19}-\frac{\pi}{19}) = \sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}$
$2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin(\frac{5\pi}{19}+\frac{\pi}{19}) - \sin(\frac{5\pi}{19}-\frac{\pi}{19}) = \sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}$
...
Последнее слагаемое:
$2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin(\frac{17\pi}{19}+\frac{\pi}{19}) - \sin(\frac{17\pi}{19}-\frac{\pi}{19}) = \sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19}$

Теперь сложим все полученные выражения. В правой части образуется телескопическая сумма, в которой все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:
$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{2\pi}{19} + (\sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}) + (\sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}) + \dots + (\sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19})$.

После сокращения всех промежуточных членов остается только $\sin\frac{18\pi}{19}$:
$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{18\pi}{19}$.

Используем формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$:
$\sin\frac{18\pi}{19} = \sin(\pi - \frac{\pi}{19}) = \sin\frac{\pi}{19}$.

Подставим это в наше равенство:
$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{\pi}{19}$.

Поскольку $\sin\frac{\pi}{19} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\sin\frac{\pi}{19}$:
$2S = 1$
$S = \frac{1}{2}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.