Номер 25.6, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.6. Докажите тождество:

1) $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha - \cos 4\alpha \cos 7\alpha = \sin 10\alpha \sin \alpha; $

2) $ 2\cos \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{4} + 15^\circ \right) \cos \left( \frac{\alpha}{4} - 15^\circ \right) = \sin \left( 45^\circ + \frac{\alpha}{4} \right) \cos \left( 45^\circ - \frac{3\alpha}{4} \right). $

1) Докажем тождество $ \cos(3\alpha)\cos(6\alpha) - \cos(4\alpha)\cos(7\alpha) = \sin(10\alpha)\sin(\alpha) $, преобразовав его левую часть.

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму воспользуемся формулой: $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части равенства:

$ \cos(3\alpha)\cos(6\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(6\alpha-3\alpha) + \cos(6\alpha+3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(9\alpha)) $.

$ \cos(4\alpha)\cos(7\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(7\alpha-4\alpha) + \cos(7\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(11\alpha)) $.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(9\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(11\alpha)) = \frac{1}{2}\cos(3\alpha) + \frac{1}{2}\cos(9\alpha) - \frac{1}{2}\cos(3\alpha) - \frac{1}{2}\cos(11\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(9\alpha) - \cos(11\alpha)) $.

Теперь воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\cos(9\alpha) - \cos(11\alpha)) = \frac{1}{2}\left(-2\sin\frac{9\alpha+11\alpha}{2}\sin\frac{9\alpha-11\alpha}{2}\right) = -\sin\frac{20\alpha}{2}\sin\frac{-2\alpha}{2} = -\sin(10\alpha)\sin(-\alpha) $.

Учитывая, что синус является нечетной функцией, то есть $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:

$ -\sin(10\alpha)(-\sin\alpha) = \sin(10\alpha)\sin\alpha $.

Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right) = \sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right) $, преобразовав поочередно его левую и правую части.

Преобразуем левую часть: $ 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right) $.

Сначала используем формулу произведения синуса на косинус $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $:

$ \sin\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right) = \frac{1}{2}\left[\sin\left(\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)+\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)-\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right)\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \sin(30^\circ)\right) $.

Так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, выражение упрощается до $ \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\right) $.

Подставим результат в левую часть исходного равенства:

$ 2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\right) = \cos\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\right) = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $. Тогда $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\alpha $.

Окончательно для левой части получаем: $ \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\left(\sin\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Теперь преобразуем правую часть: $ \sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right) $.

Вновь используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $:

$ \frac{1}{2}\left[\sin\left(\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)+\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right)\right) + \sin\left(\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)-\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right)\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\sin\left(90^\circ - \frac{2\alpha}{4}\right) + \sin\frac{4\alpha}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \sin\alpha\right) $.

Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - z) = \cos z $, получаем:

$ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\alpha\right) $.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они равны: $ \frac{1}{2}\left(\sin\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\alpha\right) $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.