Номер 25.8, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.8. Упростите выражение:

1) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$;

2) $\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ$.

1) $sin^2 α + sin^2 β + cos(α + β)cos(α - β)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой произведения косинусов, которая является следствием формул косинуса суммы и разности: $cos(x+y)cos(x-y) = cos^2x - sin^2y$.

Применим эту формулу к члену $cos(α + β)cos(α - β)$, получим:

$cos(α + β)cos(α - β) = cos^2α - sin^2β$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$sin^2α + sin^2β + (cos^2α - sin^2β)$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$(sin^2α + cos^2α) + (sin^2β - sin^2β)$

Выражение в первых скобках является основным тригонометрическим тождеством и равно 1. Выражение во вторых скобках равно 0.

$1 + 0 = 1$

Ответ: $1$

2) $cos^2(45° - α) - cos^2(60° + α) - sin(75° - 2α)cos(75°)$

Сначала преобразуем разность квадратов косинусов, используя формулу $cos^2 A - cos^2 B = sin(A+B)sin(B-A)$.

Пусть $A = 45° - α$ и $B = 60° + α$. Найдем сумму и разность этих углов:

$A+B = (45° - α) + (60° + α) = 105°$

$B-A = (60° + α) - (45° - α) = 60° + α - 45° + α = 15° + 2α$

Таким образом, первая часть выражения равна:

$cos^2(45° - α) - cos^2(60° + α) = sin(105°)sin(15° + 2α)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$sin(105°)sin(15° + 2α) - sin(75° - 2α)cos(75°)$

Теперь воспользуемся формулами приведения.

1. Для $sin(105°)$: $sin(105°) = sin(180° - 75°) = sin(75°)$. Также можно использовать $sin(105°) = sin(90° + 15°) = cos(15°)$.

2. Для $cos(75°)$: $cos(75°) = cos(90° - 15°) = sin(15°)$.

3. Для $sin(75° - 2α)$: $sin(75° - 2α) = sin(90° - (15° + 2α)) = cos(15° + 2α)$.

Подставим преобразования (1) в виде $cos(15°)$ и (2) в виде $sin(15°)$ в наше выражение:

$cos(15°)sin(15° + 2α) - sin(75° - 2α)sin(15°)$

Теперь подставим преобразование (3):

$cos(15°)sin(15° + 2α) - cos(15° + 2α)sin(15°)$

Полученное выражение является развернутой формулой синуса разности: $sin(X-Y) = sinXcosY - cosXsinY$.

Пусть $X = 15° + 2α$ и $Y = 15°$. Тогда наше выражение сворачивается в:

$sin((15° + 2α) - 15°) = sin(2α)$

Ответ: $sin(2α)$