Номер 24.8, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.8. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\sin\alpha;$

2) $\sqrt{3} - 2\cos\alpha;$

3) $\sqrt{2} + 2\cos\alpha.$

1) Для преобразования выражения $1 - 2\sin\alpha$ вынесем за скобки множитель 2, а затем представим $\frac{1}{2}$ как значение синуса известного угла, например, $\sin\frac{\pi}{6}$.

$1 - 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} - \sin\alpha\right) = 2\left(\sin\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\right)$

Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2\left(\sin\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\right) = 2 \cdot \left(2\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)$.

2) Для преобразования выражения $\sqrt{3} - 2\cos\alpha$ вынесем за скобки множитель 2. После этого представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как значение косинуса известного угла, например, $\cos\frac{\pi}{6}$.

$\sqrt{3} - 2\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\right)$

Применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(-2\sin\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $-4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$.

3) Для преобразования выражения $\sqrt{2} + 2\cos\alpha$ вынесем за скобки множитель 2. Затем представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как значение косинуса известного угла, например, $\cos\frac{\pi}{4}$.

$\sqrt{2} + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\right)$

Применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$:

$2\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$.