Номер 24.1, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.1. Преобразуйте в произведение:

1) $ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ $;

2) $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha $;

3) $ \sin \beta + \sin 4\beta $;

4) $ \sin 5^\circ - \sin 3^\circ $;

5) $ \cos \frac{\pi}{18} + \cos \frac{\pi}{12} $;

6) $ \sin (x + \alpha) + \sin (x - \alpha) $;

7) $ \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{6} \right) - \sin \left( 2\alpha - \frac{\pi}{3} \right) $;

8) $ \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) $.

Для решения данных задач используются формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

• Сумма косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Разность косинусов: $ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Сумма синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Разность синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) $

1) $ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ $

Применяем формулу суммы косинусов. Пусть $ x = 50^\circ $ и $ y = 20^\circ $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{50^\circ + 20^\circ}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{50^\circ - 20^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ $

Следовательно, $ \cos 50^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos 35^\circ \cos 15^\circ $.

Ответ: $ 2 \cos 35^\circ \cos 15^\circ $.

2) $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha $

Применяем формулу разности косинусов. Пусть $ x = 2\alpha $ и $ y = 4\alpha $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} = \frac{6\alpha}{2} = 3\alpha $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha $

Следовательно, $ \cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin(3\alpha) \sin(-\alpha) $.

Так как $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, получаем: $ -2 \sin(3\alpha) (-\sin(\alpha)) = 2 \sin(3\alpha) \sin(\alpha) $.

Ответ: $ 2 \sin(3\alpha) \sin(\alpha) $.

3) $ \sin \beta + \sin 4\beta $

Применяем формулу суммы синусов. Пусть $ x = \beta $ и $ y = 4\beta $. Для удобства поменяем их местами, так как сложение коммутативно: $ \sin 4\beta + \sin \beta $.

$ \frac{4\beta+\beta}{2} = \frac{5\beta}{2} $

$ \frac{4\beta-\beta}{2} = \frac{3\beta}{2} $

Следовательно, $ \sin 4\beta + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{5\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{3\beta}{2}\right) $.

Ответ: $ 2 \sin\left(\frac{5\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{3\beta}{2}\right) $.

4) $ \sin 5^\circ - \sin 3^\circ $

Применяем формулу разности синусов. Пусть $ x = 5^\circ $ и $ y = 3^\circ $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{5^\circ - 3^\circ}{2} = \frac{2^\circ}{2} = 1^\circ $

$ \frac{x+y}{2} = \frac{5^\circ + 3^\circ}{2} = \frac{8^\circ}{2} = 4^\circ $

Следовательно, $ \sin 5^\circ - \sin 3^\circ = 2 \sin 1^\circ \cos 4^\circ $.

Ответ: $ 2 \sin 1^\circ \cos 4^\circ $.

5) $ \cos \frac{\pi}{18} + \cos \frac{\pi}{12} $

Применяем формулу суммы косинусов. Пусть $ x = \frac{\pi}{18} $ и $ y = \frac{\pi}{12} $.

Для вычислений приведем дроби к общему знаменателю 36: $ \frac{\pi}{18} = \frac{2\pi}{36} $ и $ \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{36} $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{2\pi}{36} + \frac{3\pi}{36}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{36}}{2} = \frac{5\pi}{72} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\frac{2\pi}{36} - \frac{3\pi}{36}}{2} = \frac{-\frac{\pi}{36}}{2} = -\frac{\pi}{72} $

Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{18} + \cos\frac{\pi}{12} = 2 \cos\left(\frac{5\pi}{72}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{72}\right) $.

Так как $ \cos(-z) = \cos(z) $, получаем: $ 2 \cos\left(\frac{5\pi}{72}\right) \cos\left(\frac{\pi}{72}\right) $.

Ответ: $ 2 \cos\left(\frac{5\pi}{72}\right) \cos\left(\frac{\pi}{72}\right) $.

6) $ \sin(x+\alpha) + \sin(x-\alpha) $

Применяем формулу суммы синусов. Пусть $ A = x+\alpha $ и $ B = x-\alpha $.

$ \frac{A+B}{2} = \frac{(x+\alpha)+(x-\alpha)}{2} = \frac{2x}{2} = x $

$ \frac{A-B}{2} = \frac{(x+\alpha)-(x-\alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Следовательно, $ \sin(x+\alpha) + \sin(x-\alpha) = 2 \sin x \cos \alpha $.

Ответ: $ 2 \sin x \cos \alpha $.

7) $ \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) $

Применяем формулу разности синусов. Пусть $ x = 2\alpha - \frac{\pi}{6} $ и $ y = 2\alpha - \frac{\pi}{3} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{12} $

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) + \left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{4\alpha - \frac{3\pi}{6}}{2} = \frac{4\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = 2\alpha - \frac{\pi}{4} $

Следовательно, $ \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

Ответ: $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right) $.

8) $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) $

Применяем формулу суммы косинусов. Пусть $ x = \frac{\pi}{3} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} - \alpha $.

$ \frac{x+y}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Следовательно, $ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(\alpha) $.

Так как $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $, получаем: $ 2 \cdot \frac{1}{2} \cos(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Ответ: $ \cos \alpha $.