Номер 24.2, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.2. Преобразуйте в произведение:

1) $cos16^{\circ} - cos36^{\circ}$;

2) $sin28^{\circ} + sin12^{\circ}$;

3) $cos3\alpha + cos5\alpha$;

4) $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)$;

5) $sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$;

6) $cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.

1)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем соответствующую формулу:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В данном случае $x = 16^\circ$ и $y = 36^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$\cos 16^\circ - \cos 36^\circ = -2 \sin\left(\frac{16^\circ+36^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{16^\circ-36^\circ}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{52^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{-20^\circ}{2}\right) = -2 \sin(26^\circ) \sin(-10^\circ)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-A) = -\sin A$, получаем:

$-2 \sin(26^\circ) (-\sin(10^\circ)) = 2 \sin(26^\circ) \sin(10^\circ)$

Ответ: $2 \sin(26^\circ) \sin(10^\circ)$

2)

Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Здесь $x = 28^\circ$ и $y = 12^\circ$. Подставим значения в формулу:

$\sin 28^\circ + \sin 12^\circ = 2 \sin\left(\frac{28^\circ+12^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{28^\circ-12^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{40^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{16^\circ}{2}\right) = 2 \sin(20^\circ) \cos(8^\circ)$

Ответ: $2 \sin(20^\circ) \cos(8^\circ)$

3)

Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В этом выражении $x = 3\alpha$ и $y = 5\alpha$. Подставляем в формулу:

$\cos 3\alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos\left(\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{3\alpha-5\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{-2\alpha}{2}\right) = 2 \cos(4\alpha) \cos(-\alpha)$

Используя свойство четности косинуса $\cos(-A) = \cos A$, получаем:

$2 \cos(4\alpha) \cos(\alpha)$

Ответ: $2 \cos(4\alpha) \cos(\alpha)$

4)

Для преобразования разности синусов в произведение используем формулу разности синусов:

$\sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

В нашем случае $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$. Подставим в формулу:

$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos\left(\frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\right) \sin\left(\frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\beta}{2}\right) = 2 \cos(\alpha) \sin(\beta)$

Ответ: $2 \cos(\alpha) \sin(\beta)$

5)

Для преобразования суммы синусов в произведение используем формулу суммы синусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Здесь $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$. Подставим в формулу:

$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = 2 \sin\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right) \cos\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right)$

Упростим аргументы:

$= 2 \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\right) \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(\alpha)$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) = \sqrt{3} \cos(\alpha)$

Ответ: $\sqrt{3} \cos(\alpha)$

6)

Для преобразования разности косинусов в произведение используем формулу разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$

Здесь $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$. Подставим в формулу:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = -2 \sin\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right) \sin\left(\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2}\right)$

Упростим аргументы:

$= -2 \sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin(\alpha)$

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) = -\sqrt{3} \sin(\alpha)$

Ответ: $-\sqrt{3} \sin(\alpha)$