Номер 24.5, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.5. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 20^\circ + \cos 20^\circ$;

2) $\cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8}$;

3) $\sin \alpha - \cos \alpha$.

1)

Для преобразования суммы в произведение представим косинус в виде синуса с помощью формулы приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(90^\circ - \alpha)} $. Затем воспользуемся формулой суммы синусов $ \sin{x} + \sin{y} = 2 \sin{\frac{x+y}{2}} \cos{\frac{x-y}{2}} $.

$ \sin{20^\circ} + \cos{20^\circ} = \sin{20^\circ} + \sin{(90^\circ - 20^\circ)} = \sin{20^\circ} + \sin{70^\circ} $.

Применяем формулу суммы синусов:

$ \sin{20^\circ} + \sin{70^\circ} = 2 \sin{\frac{20^\circ + 70^\circ}{2}} \cos{\frac{20^\circ - 70^\circ}{2}} = 2 \sin{\frac{90^\circ}{2}} \cos{\frac{-50^\circ}{2}} = 2 \sin{45^\circ} \cos{(-25^\circ)} $.

Используя свойство чётности косинуса $ \cos{(-x)} = \cos{x} $ и значение $ \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем конечный результат:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos{25^\circ} = \sqrt{2} \cos{25^\circ} $.

Ответ: $ \sqrt{2} \cos{25^\circ} $.

2)

Для преобразования разности в произведение представим косинус в виде синуса с помощью формулы приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $. Затем воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} $.

$ \cos{\frac{\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})} - \sin{\frac{\pi}{8}} = \sin{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} $.

Применяем формулу разности синусов:

$ \sin{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{\pi}{8}} = 2 \cos{\frac{\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}}{2}} \sin{\frac{\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{4\pi}{8}}{2}} \sin{\frac{\frac{2\pi}{8}}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{\pi}{2}}{2}} \sin{\frac{\frac{\pi}{4}}{2}} = 2 \cos{\frac{\pi}{4}} \sin{\frac{\pi}{8}} $.

Подставляя значение $ \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}} $.

Ответ: $ \sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}} $.

3)

Для преобразования разности в произведение представим косинус в виде синуса с помощью формулы приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $. Затем воспользуемся формулой разности синусов $ \sin{x} - \sin{y} = 2 \cos{\frac{x+y}{2}} \sin{\frac{x-y}{2}} $.

$ \sin{\alpha} - \cos{\alpha} = \sin{\alpha} - \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $.

Применяем формулу разности синусов:

$ \sin{\alpha} - \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = 2 \cos{\frac{\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2}} \sin{\frac{\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2}} = 2 \cos{\frac{\frac{\pi}{2}}{2}} \sin{\frac{2\alpha - \frac{\pi}{2}}{2}} = 2 \cos{\frac{\pi}{4}} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} $.

Подставляя значение $ \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} = \sqrt{2} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} $.

Ответ: $ \sqrt{2} \sin{(\alpha - \frac{\pi}{4})} $.