Номер 23.38, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.38. Упростите выражение $\frac{\cos^4(\alpha - \pi)}{\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) - 1}$.

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно преобразовать числитель и знаменатель, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.

Упрощение числителя
В числителе находится выражение $\cos^4(\alpha - \pi)$. Воспользуемся свойством четности функции косинус $\cos(-x) = \cos(x)$ и формулой приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos^4(\alpha - \pi) = (\cos(\alpha - \pi))^4 = (\cos(-(\pi - \alpha)))^4 = (\cos(\pi - \alpha))^4 = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha$.

Упрощение знаменателя
Знаменатель равен $\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) - 1$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности с помощью формул приведения:
1. Для $\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)$: сначала преобразуем $\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$.
Следовательно, $\cos^4\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = (-\sin\alpha)^4 = \sin^4\alpha$.
2. Для $\sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)$: сначала преобразуем $\sin\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos\alpha$.
Следовательно, $\sin^4\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha$.
Теперь подставим упрощенные выражения в знаменатель:
$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - 1$.
Воспользуемся тождеством $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$. Это тождество получается из основного тригонометрического тождества: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2 \Rightarrow \sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha = 1$.
Таким образом, знаменатель становится равен:
$(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 = -2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Итоговое упрощение
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$\frac{\cos^4\alpha}{-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$.
Сократим дробь на $\cos^2\alpha$. Это возможно, так как для области определения исходного выражения знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$.
$\frac{\cos^2\alpha}{-2\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2}\cot^2\alpha$.
Ответ: $-\frac{1}{2}\cot^2\alpha$.