Номер 23.36, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.36. Докажите, что:

1) $\sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4}$;

2) $\cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha}$.

1)

Для доказательства равенства $ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4} $ преобразуем его левую часть.
Умножим и разделим выражение на $ 2\cos 54^\circ $ (это возможно, поскольку $ \cos 54^\circ \neq 0 $):
$ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{2 \sin 54^\circ \cos 54^\circ \cos 72^\circ}{2 \cos 54^\circ} $
Воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. В числителе выражение $ 2 \sin 54^\circ \cos 54^\circ $ равно $ \sin(2 \cdot 54^\circ) = \sin 108^\circ $.
Получаем:
$ \frac{\sin 108^\circ \cos 72^\circ}{2 \cos 54^\circ} $
Применим формулу приведения $ \sin 108^\circ = \sin(180^\circ - 72^\circ) = \sin 72^\circ $:
$ \frac{\sin 72^\circ \cos 72^\circ}{2 \cos 54^\circ} $
Снова применим формулу синуса двойного угла для числителя, используя то, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $:
$ \frac{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 72^\circ)}{2 \cos 54^\circ} = \frac{\frac{1}{2}\sin 144^\circ}{2 \cos 54^\circ} = \frac{\sin 144^\circ}{4 \cos 54^\circ} $
Теперь используем другую формулу приведения $ \sin 144^\circ = \sin(90^\circ + 54^\circ) = \cos 54^\circ $:
$ \frac{\cos 54^\circ}{4 \cos 54^\circ} = \frac{1}{4} $
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна $ \frac{1}{4} $, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \sin 54^\circ \cos 72^\circ = \frac{1}{4} $.

2)

Для доказательства тождества $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha} $ преобразуем левую часть.
Заметим, что правая часть определена при $ \sin 3\alpha \neq 0 $. При этом условии умножим и разделим левую часть на $ 2\sin 3\alpha $:
$ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{2\sin 3\alpha \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2\sin 3\alpha} $
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta $, заменим в числителе $ 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha $ на $ \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha $:
$ \frac{\sin 6\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2\sin 3\alpha} $
Повторим операцию: умножим числитель и знаменатель дроби на 2 и снова применим ту же формулу:
$ \frac{2\sin 6\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha}{2 \cdot 2\sin 3\alpha} = \frac{\sin(2 \cdot 6\alpha) \cos 12\alpha}{4\sin 3\alpha} = \frac{\sin 12\alpha \cos 12\alpha}{4\sin 3\alpha} $
Выполним это преобразование в последний раз:
$ \frac{2\sin 12\alpha \cos 12\alpha}{2 \cdot 4\sin 3\alpha} = \frac{\sin(2 \cdot 12\alpha)}{8\sin 3\alpha} = \frac{\sin 24\alpha}{8\sin 3\alpha} $
В результате преобразований левая часть стала равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha \cos 12\alpha = \frac{\sin 24\alpha}{8 \sin 3\alpha} $.