Номер 20.9, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.9. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $\sin \alpha = 0,6$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

4) $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1) Дано $\cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Поскольку знак синуса не определён, рассмотрим два возможных случая, так как косинус положителен в I и IV четвертях.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы найти $\sin \alpha$.

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Отсюда $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Случай 1: Угол $\alpha$ находится в I четверти.

В I четверти все тригонометрические функции положительны.
$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Случай 2: Угол $\alpha$ находится в IV четверти.

В IV четверти синус и тангенс отрицательны.
$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: если $\alpha$ в I четверти, то $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$; если $\alpha$ в IV четверти, то $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{3}$, $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Дано $\sin \alpha = 0,6$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Угол $\alpha$ находится во II четверти. В этой четверти косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
Представим $0,6$ в виде дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Найдем $\cos \alpha$ из тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$.
Так как $\alpha$ во II четверти, $\cos \alpha < 0$, поэтому $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{-3/4} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$, $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$.

3) Дано $\operatorname{tg} \alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а котангенс положителен.

Найдем $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{2}$.

Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + 2^2 = 5$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$.
$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Так как $\alpha$ в III четверти, $\cos \alpha < 0$, поэтому $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Найдем $\sin \alpha$ из формулы $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{2}$.

4) Дано $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Угол $\alpha$ находится в IV четверти. В этой четверти синус и тангенс отрицательны, а косинус положителен.

Найдем $\operatorname{tg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.

Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$.
$\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$.
$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$.
Так как $\alpha$ в IV четверти, $\sin \alpha < 0$, поэтому $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$.

Найдем $\cos \alpha$ из формулы $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$, $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$.