gdz.top
Номер 20.13, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Упражнения - номер 20.13, страница 154.
№20.12
№20.13 (с. 154)
Условие. №20.13 (с. 154)
20.13. Докажите тождество:
1) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$
2) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1.$
Решение 1. №20.13 (с. 154)
Решение 2. №20.13 (с. 154)
Решение 3. №20.13 (с. 154)
Решение 4. №20.13 (с. 154)
Решение 5. №20.13 (с. 154)
1) Для доказательства тождества $ \sin⁴α + \cos⁴α - \sin⁶α - \cos⁶α = \sin²α \cos²α $ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые:
$ (\sin⁴α - \sin⁶α) + (\cos⁴α - \cos⁶α) $
Вынесем общие множители за скобки:
$ \sin⁴α(1 - \sin²α) + \cos⁴α(1 - \cos²α) $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin²α + \cos²α = 1 $. Из него следуют соотношения: $ 1 - \sin²α = \cos²α $ и $ 1 - \cos²α = \sin²α $. Подставим их в наше выражение:
$ \sin⁴α \cdot \cos²α + \cos⁴α \cdot \sin²α $
Теперь вынесем за скобки общий множитель $ \sin²α \cos²α $:
$ \sin²α \cos²α (\sin²α + \cos²α) $
Снова применяем основное тригонометрическое тождество $ \sin²α + \cos²α = 1 $:
$ \sin²α \cos²α \cdot 1 = \sin²α \cos²α $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
2) Для доказательства тождества $ \sin⁶α + \cos⁶α + 3\sin²α \cos²α = 1 $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$ \sin²α + \cos²α = 1 $
Возведем обе части этого равенства в третью степень (в куб):
$ (\sin²α + \cos²α)³ = 1³ $
Применим формулу куба суммы $ (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) $, где $ a = \sin²α $ и $ b = \cos²α $:
$ (\sin²α)³ + (\cos²α)³ + 3\sin²α \cos²α(\sin²α + \cos²α) = 1 $
Упростим выражение, зная, что $ \sin²α + \cos²α = 1 $:
$ \sin⁶α + \cos⁶α + 3\sin²α \cos²α(1) = 1 $
В результате получаем исходное тождество:
$ \sin⁶α + \cos⁶α + 3\sin²α \cos²α = 1 $
Тождество доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 20.13 расположенного на странице 154 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.13 (с. 154), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.