Номер 20.20, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $3\sin^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $3\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. С помощью этого тождества можно выразить данное выражение через одну тригонометрическую функцию.

Способ 1: Выражение через $\sin^2\alpha$
Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$ в исходном выражении:
$3\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha = 3\sin^2\alpha - 2(1 - \sin^2\alpha)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3\sin^2\alpha - 2 + 2\sin^2\alpha = 5\sin^2\alpha - 2$
Теперь нам нужно найти область значений выражения $5\sin^2\alpha - 2$.
Мы знаем, что значения синуса находятся в пределах от -1 до 1:
$-1 \le \sin\alpha \le 1$
Следовательно, значения $\sin^2\alpha$ находятся в пределах от 0 до 1:
$0 \le \sin^2\alpha \le 1$
Чтобы найти диапазон значений всего выражения, умножим все части этого неравенства на 5, а затем вычтем 2:
$0 \cdot 5 \le 5\sin^2\alpha \le 1 \cdot 5$
$0 \le 5\sin^2\alpha \le 5$
$0 - 2 \le 5\sin^2\alpha - 2 \le 5 - 2$
$-2 \le 5\sin^2\alpha - 2 \le 3$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -2 (когда $\sin^2\alpha=0$), а наибольшее значение равно 3 (когда $\sin^2\alpha=1$).

Способ 2: Выражение через $\cos^2\alpha$
Аналогично, можно заменить $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:
$3\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha = 3(1 - \cos^2\alpha) - 2\cos^2\alpha$
$3 - 3\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha = 3 - 5\cos^2\alpha$
Мы знаем, что область значений для $\cos^2\alpha$ также от 0 до 1:
$0 \le \cos^2\alpha \le 1$
Умножим неравенство на -5 (знаки неравенства изменятся на противоположные):
$0 \ge -5\cos^2\alpha \ge -5$
Или, в более привычном виде: $-5 \le -5\cos^2\alpha \le 0$.
Теперь прибавим 3 ко всем частям:
$3 - 5 \le 3 - 5\cos^2\alpha \le 3 + 0$
$-2 \le 3 - 5\cos^2\alpha \le 3$
Этот способ также показывает, что наименьшее значение выражения равно -2 (когда $\cos^2\alpha=1$), а наибольшее значение равно 3 (когда $\cos^2\alpha=0$).

Ответ: наибольшее значение равно 3, наименьшее значение равно -2.