Номер 20.16, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.16. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{5 \cos \alpha + 6 \sin \alpha}{3 \sin \alpha - 7 \cos \alpha}$, если $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2}$;

2) $ \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha}$, если известно, что $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{2}$, мы можем преобразовать исходное выражение, разделив числитель и знаменатель дроби на $\cos\alpha$. Это возможно, так как если $\text{tg}\,\alpha$ определен, то $\cos\alpha \neq 0$.

Выполним деление:

$\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{3\sin\alpha - 7\cos\alpha} = \frac{\frac{5\cos\alpha + 6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 7\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{5\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{6\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{7\cos\alpha}{\cos\alpha}}$

Поскольку $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, выражение упрощается до:

$\frac{5 + 6\text{tg}\,\alpha}{3\text{tg}\,\alpha - 7}$

Теперь подставим заданное значение $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{2}$ в полученное выражение:

$\frac{5 + 6 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot \frac{1}{2} - 7} = \frac{5 + 3}{\frac{3}{2} - 7} = \frac{8}{\frac{3}{2} - \frac{14}{2}} = \frac{8}{-\frac{11}{2}} = 8 \cdot (-\frac{2}{11}) = -\frac{16}{11}$

Ответ: $-\frac{16}{11}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, если известно, что $\text{ctg}\,\alpha = \frac{3}{4}$, преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель на $\sin^2\alpha$. Это возможно, так как если $\text{ctg}\,\alpha$ определен, то $\sin\alpha \neq 0$.

Выполним деление:

$\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$

Поскольку $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выражение упрощается до:

$\frac{\text{ctg}\,\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}$

Теперь подставим заданное значение $\text{ctg}\,\alpha = \frac{3}{4}$ в полученное выражение:

$\frac{\frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16}{16} - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$

Ответ: $\frac{12}{7}$.