Номер 20.11, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.11. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha;$

2) $\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha;$

3) $\frac{\sqrt{3} - 2\sin \alpha}{2\cos \alpha - 1} = \frac{1 + 2\cos \alpha}{2\sin \alpha + \sqrt{3}};$

4) $\frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha} = -\operatorname{ctg}^6 \alpha;$

5) $\frac{\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

6) $\frac{\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha.$

1) Преобразуем левую часть тождества. В числителе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$, получим:

$\cos \alpha - \sin \alpha$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Преобразуем левую часть. Выразим тангенс через синус и косинус, используя $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$:

$\text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha$

Вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки:

$\sin^2 \alpha \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin^2 \alpha \left(\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)$

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \cos^2 \alpha$ на $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) Тождество является пропорцией. Докажем его, воспользовавшись свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(2\sin \alpha + \sqrt{3}) = (2\cos \alpha - 1)(1 + 2\cos \alpha)$

К обеим частям равенства применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Преобразуем левую часть:

$(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(\sqrt{3} + 2\sin \alpha) = (\sqrt{3})^2 - (2\sin \alpha)^2 = 3 - 4\sin^2 \alpha$

Преобразуем правую часть:

$(2\cos \alpha - 1)(2\cos \alpha + 1) = (2\cos \alpha)^2 - 1^2 = 4\cos^2 \alpha - 1$

Проверим равенство $3 - 4\sin^2 \alpha = 4\cos^2 \alpha - 1$. Для этого преобразуем левую часть, используя $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

$3 - 4(1 - \cos^2 \alpha) = 3 - 4 + 4\cos^2 \alpha = 4\cos^2 \alpha - 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части тождества.

Числитель: $\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Заменим $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ и вынесем общий множитель:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right)$

Используя $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

$\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Знаменатель: $\sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha$. Заменим $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ и вынесем общий множитель:

$\sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right)$

Используя $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$, получаем:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = - \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = - \frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = -\text{ctg}^6 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

5) Преобразуем левую часть тождества. Заменим $\text{tg} \alpha$ на дробь $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\frac{\sin \alpha + \text{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha}$

В числителе вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки:

$\frac{\sin \alpha \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right)}{1 + \cos \alpha}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $\cos \alpha$:

$\frac{\sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha}\right)}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\cos \alpha (1 + \cos \alpha)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \cos \alpha)$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.

6) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в знаменателе.

Знаменатель: $\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Заменим $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right)$

Используя $1-\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем:

$\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^4 = \text{tg}^4 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.