Номер 20.15, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.15. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$, если $\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\operatorname{ctg} \alpha = -2.$

1) Требуется найти значение выражения $\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$, если $\tan \alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку тангенс угла $\alpha$ определен ($\tan \alpha = \frac{1}{3}$), это означает, что $\cos \alpha \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\cos \alpha$, чтобы выразить все через $\tan \alpha$.

$\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}$

Зная, что $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, заменим отношение синуса к косинусу на тангенс:

$\frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\tan \alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1 - 3}{3}}{\frac{1 + 3}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Требуется найти значение выражения $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$, если $\cot \alpha = -2$.

Поскольку котангенс угла $\alpha$ определен ($\cot \alpha = -2$), это означает, что $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\sin^2 \alpha$, чтобы выразить всё через $\cot \alpha$. Это возможно, так как все слагаемые в числителе и знаменателе имеют вторую степень (выражение однородное).

$\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{\frac{3 \cos^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{2 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - 7 \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}{3 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + 4 \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}}$

Зная, что $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$\frac{2\cot^2 \alpha - 7}{3\cot^2 \alpha + 4\cot \alpha}$

Теперь подставим в полученное выражение известное значение $\cot \alpha = -2$:

$\frac{2(-2)^2 - 7}{3(-2)^2 + 4(-2)} = \frac{2 \cdot 4 - 7}{3 \cdot 4 - 8} = \frac{8 - 7}{12 - 8} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.