Номер 20.12, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.12. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

3) $1 + (\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha)\cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha.$

1) Докажем тождество $ \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Вынесем за скобки общий множитель $ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $:

$ \sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Подставим это значение в выражение:

$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot 1 = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем определение котангенса: $ \text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

$ \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha $.

Вынесем общий множитель $ \cos^2 \alpha $ за скобки:

$ \cos^2 \alpha \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1 \right) $.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \cos^2 \alpha \left( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) $.

Применим основное тригонометрическое тождество $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha \left( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) $.

Заменяем дробь $ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $ обратно на $ \text{ctg}^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha $.

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $ 1 + (\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha)\cos^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Для начала раскроем скобки:

$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha \cos^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ и $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

$ 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha $.

Упростим полученное выражение:

$ 1 + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \sin^2 \alpha $.

Сгруппируем первое и третье слагаемые. Согласно основному тригонометрическому тождеству $ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $:

$ (1 - \sin^2 \alpha) + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $ \sin^2 \alpha $:

$ \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ \cos^2 \alpha $:

$ \frac{\cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} $.

Так как $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, выражение упрощается:

$ \frac{\cos^2 \alpha \cdot 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $.

Полученное выражение по определению равно $ \text{ctg}^2 \alpha $.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.