gdz.top
Номер 20.18, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Упражнения - номер 20.18, страница 154.
№20.17
№20.18 (с. 154)
Условие. №20.18 (с. 154)
20.18. Дано: $tg \alpha + ctg \alpha = b$. Найдите:
1) $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha;$
2) $tg^3 \alpha + ctg^3 \alpha.$
Решение 1. №20.18 (с. 154)
Решение 2. №20.18 (с. 154)
Решение 3. №20.18 (с. 154)
Решение 4. №20.18 (с. 154)
Решение 5. №20.18 (с. 154)
1) tg² α + ctg² α;
Чтобы найти значение выражения $\text{tg}^2\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha$, возведем в квадрат обе части исходного равенства $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = b$:
$(\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^2 = b^2$
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$\text{tg}^2\,\alpha + 2 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha = b^2$
Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$. Подставим это значение в уравнение:
$\text{tg}^2\,\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\,\alpha = b^2$
$\text{tg}^2\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha + 2 = b^2$
Отсюда выразим искомую сумму:
$\text{tg}^2\,\alpha + \text{ctg}^2\,\alpha = b^2 - 2$
Ответ: $b^2 - 2$
2) tg³ α + ctg³ α.
Чтобы найти значение выражения $\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha$, возведем в куб обе части исходного равенства $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = b$:
$(\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^3 = b^3$
Воспользуемся формулой куба суммы, представленной в виде $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$:
$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha + 3 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha \cdot (\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha) = b^3$
Теперь подставим известные нам значения: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$ и $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = b$.
$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha + 3 \cdot 1 \cdot b = b^3$
$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha + 3b = b^3$
Выразим искомую сумму кубов:
$\text{tg}^3\,\alpha + \text{ctg}^3\,\alpha = b^3 - 3b$
Ответ: $b^3 - 3b$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 20.18 расположенного на странице 154 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.18 (с. 154), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.