Номер 20.23, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.23. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

2) $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

1) Докажите, что функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на промежутке $(-5; +\infty)$;

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке отрицательна.

Область определения функции: $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq -5$. Промежуток $(-5; +\infty)$ входит в область определения.

Найдем производную функции $y(x) = \frac{7}{x+5}$:

$y' = \left(\frac{7}{x+5}\right)' = 7 \cdot \left((x+5)^{-1}\right)' = 7 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-2} \cdot (x+5)' = -7(x+5)^{-2} = -\frac{7}{(x+5)^2}$.

Определим знак производной на промежутке $(-5; +\infty)$.

Для любого $x$ из этого промежутка выполняется неравенство $x > -5$, следовательно, $x+5 > 0$.

Квадрат любого ненулевого числа является положительным числом, поэтому $(x+5)^2 > 0$ для всех $x$ из рассматриваемого промежутка.

Числитель дроби равен $-7$ (отрицательное число), а знаменатель $(x+5)^2$ положителен. Частное от деления отрицательного числа на положительное всегда отрицательно.

Таким образом, $y' = -\frac{7}{(x+5)^2} < 0$ для всех $x \in (-5; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем промежутке $(-5; +\infty)$, функция $y = \frac{7}{x+5}$ убывает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажите, что функция $y = 6x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$.

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке неотрицательна ($y' \ge 0$).

Данная функция является квадратичной, ее область определения — все действительные числа.

Найдем производную функции $y(x) = 6x - x^2$:

$y' = (6x - x^2)' = (6x)' - (x^2)' = 6 - 2x$.

Определим, при каких значениях $x$ производная $y' = 6 - 2x$ будет неотрицательной. Для этого решим неравенство:

$6 - 2x \ge 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$6 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$3 \ge x$, или $x \le 3$.

Неравенство $y' \ge 0$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(-\infty; 3]$. При этом равенство $y' = 0$ достигается только в одной точке $x=3$. На интервале $(-\infty; 3)$ производная строго положительна ($y' > 0$).

Поскольку производная функции неотрицательна на всем промежутке $(-\infty; 3]$, функция $y = 6x - x^2$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.