Номер 20.21, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.21. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\cos^2 \beta (1 + \operatorname{tg}\beta) + \sin^2 \beta (1 + \operatorname{ctg}\beta)}$, если $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$;

2) $\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta}}{\operatorname{tg}\beta \operatorname{ctg}\alpha}$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

1)

Сначала упростим выражение под знаком корня: $ \cos^2 \beta(1 + \operatorname{tg}\beta) + \sin^2 \beta(1 + \operatorname{ctg}\beta) $.
Используем определения тангенса и котангенса: $ \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} $ и $ \operatorname{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $.
$ \cos^2 \beta \left(1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) + \sin^2 \beta \left(1 + \frac{\cos\beta}{\sin\beta}\right) $
Раскроем скобки, приведя к общему знаменателю внутри них:
$ \cos^2 \beta \cdot \frac{\cos\beta + \sin\beta}{\cos\beta} + \sin^2 \beta \cdot \frac{\sin\beta + \cos\beta}{\sin\beta} $
Сократим дроби:
$ \cos\beta(\cos\beta + \sin\beta) + \sin\beta(\sin\beta + \cos\beta) $
Вынесем общий множитель $ (\sin\beta + \cos\beta) $:
$ (\sin\beta + \cos\beta)(\cos\beta + \sin\beta) = (\sin\beta + \cos\beta)^2 $
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$ \sqrt{(\sin\beta + \cos\beta)^2} = |\sin\beta + \cos\beta| $
По условию, угол $ \beta $ находится в третьей четверти, то есть $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $. В этой четверти и синус, и косинус являются отрицательными величинами: $ \sin\beta < 0 $ и $ \cos\beta < 0 $.
Сумма двух отрицательных чисел также отрицательна, поэтому $ \sin\beta + \cos\beta < 0 $.
Согласно определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то его модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком:
$ |\sin\beta + \cos\beta| = -(\sin\beta + \cos\beta) = -\sin\beta - \cos\beta $

Ответ: $ -\sin\beta - \cos\beta $

2)

Упростим выражение в числителе. Рассмотрим подкоренное выражение: $ 1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, мы можем заменить $ 1 - \sin^2 \alpha $ на $ \cos^2 \alpha $:
$ \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cos^2 \beta $
Вынесем общий множитель $ \cos^2 \alpha $ за скобки:
$ \cos^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta) $
Снова применим основное тригонометрическое тождество, заменив $ 1 - \cos^2 \beta $ на $ \sin^2 \beta $:
$ \cos^2 \alpha \sin^2 \beta $
Таким образом, числитель дроби равен $ \sqrt{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta} = |\cos \alpha \sin \beta| $.
Теперь определим знаки тригонометрических функций, используя заданные интервалы:
Для угла $ \alpha $ задан интервал $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует третьей четверти. В этой четверти $ \cos \alpha < 0 $.
Для угла $ \beta $ задан интервал $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, что соответствует второй четверти. В этой четверти $ \sin \beta > 0 $.
Произведение $ \cos \alpha \sin \beta $ будет отрицательным, так как $ (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) = (\text{отрицательное}) $.
Следовательно, раскрываем модуль со знаком минус:
$ |\cos \alpha \sin \beta| = -(\cos \alpha \sin \beta) = -\cos \alpha \sin \beta $.
Теперь рассмотрим знаменатель: $ \operatorname{tg}\beta \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Подставим упрощенный числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{-\cos \alpha \sin \beta}{\frac{\sin\beta \cos\alpha}{\cos\beta \sin\alpha}} $
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:
$ -\cos \alpha \sin \beta \cdot \frac{\cos\beta \sin\alpha}{\sin\beta \cos\alpha} $
Сокращаем одинаковые множители $ \cos \alpha $ и $ \sin \beta $ (они не равны нулю в заданных интервалах):
$ -1 \cdot \cos\beta \sin\alpha = -\sin\alpha \cos\beta $

Ответ: $ -\sin\alpha \cos\beta $