Номер 20.22, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.22. Упростите выражение $\sin\alpha - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$, если $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.

Для того чтобы упростить данное выражение, начнем с преобразования подкоренного выражения $\ctg^2\alpha - \cos^2\alpha$.

1. Воспользуемся определением котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и подставим его в выражение:$\ctg^2\alpha - \cos^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \cos^2\alpha$

2. Вынесем общий множитель $\cos^2\alpha$ за скобки:$\cos^2\alpha \left(\frac{1}{\sin^2\alpha} - 1\right)$

3. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:$\cos^2\alpha \left(\frac{1 - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)$

4. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$. Подставим это в наше выражение:$\cos^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$

5. Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат под знак корня:$\sin\alpha - \sqrt{\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}$

6. Извлечем корень, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:$\sqrt{\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\sqrt{(\cos^2\alpha)^2}}{\sqrt{\sin^2\alpha}} = \frac{|\cos^2\alpha|}{|\sin\alpha|}$

7. Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая заданное условие $180^\circ < \alpha < 360^\circ$. Этот интервал соответствует III и IV координатным четвертям.

• Выражение $\cos^2\alpha$ всегда неотрицательно, поэтому $|\cos^2\alpha| = \cos^2\alpha$.
• В III и IV четвертях значение синуса отрицательно, то есть $\sin\alpha < 0$. Следовательно, $|\sin\alpha| = -\sin\alpha$.

Таким образом, выражение под корнем упрощается до:$\frac{\cos^2\alpha}{-\sin\alpha} = -\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

8. Подставим это в наше выражение:$\sin\alpha - \left(-\frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\right) = \sin\alpha + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

9. Приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin\alpha$:$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha}$

10. Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\frac{1}{\sin\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\sin\alpha}$