Страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Решите уравнение $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$.

1.

Данное иррациональное уравнение:$$ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 2x - 8} = \sqrt{x^2 - 6x + 8} $$

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

$$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x^2 + 2x - 8 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 8 \ge 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы:

1) $x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2) $x^2 + 2x - 8 \ge 0 \implies (x+4)(x-2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.

3) $x^2 - 6x + 8 \ge 0 \implies (x-2)(x-4) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Для нахождения ОДЗ найдем пересечение этих трех множеств. Удобно изобразить их на числовой оси. Пересечением будет множество $x \in (-\infty, -4] \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Заметим, что точка $x=2$ входит в ОДЗ. Проверим, является ли она корнем уравнения, подставив ее в исходное выражение:

$$ \sqrt{2^2 - 4} + \sqrt{2^2 + 2(2) - 8} = \sqrt{2^2 - 6(2) + 8} $$

$$ \sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0} $$

$$ 0 = 0 $$

Равенство верное, значит, $x=2$ — один из корней уравнения.

Далее разложим подкоренные выражения на множители, что мы уже делали при нахождении ОДЗ:

$$ \sqrt{(x-2)(x+2)} + \sqrt{(x-2)(x+4)} = \sqrt{(x-2)(x-4)} $$

Рассмотрим решение уравнения на оставшихся частях ОДЗ.

Случай 1: $x \in [4, \infty)$.

На этом промежутке все множители $(x-2)$, $(x+2)$, $(x+4)$ и $(x-4)$ неотрицательны. Уравнение можно переписать так:

$$ \sqrt{x-2}\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}\sqrt{x+4} = \sqrt{x-2}\sqrt{x-4} $$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $\sqrt{x-2}$:

$$ \sqrt{x-2} (\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} - \sqrt{x-4}) = 0 $$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $\sqrt{x-2} = 0 \implies x=2$. Этот корень не входит в рассматриваемый промежуток $[4, \infty)$.

б) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+4} = \sqrt{x-4}$. Для любого $x \ge 4$ имеем $x+2 > x-4$, откуда $\sqrt{x+2} > \sqrt{x-4}$. Так как $\sqrt{x+4} > 0$, то левая часть уравнения строго больше правой. Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Случай 2: $x \in (-\infty, -4]$.

На этом промежутке множители $(x-2)$, $(x+2)$, $(x+4)$ и $(x-4)$ являются отрицательными (кроме $x=-4$, где $x+4=0$). Используем свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{-a}\sqrt{-b}$ для $a, b \le 0$.

$$ \sqrt{-(x-2)}\sqrt{-(x+2)} + \sqrt{-(x-2)}\sqrt{-(x+4)} = \sqrt{-(x-2)}\sqrt{-(x-4)} $$

$$ \sqrt{2-x}\sqrt{-x-2} + \sqrt{2-x}\sqrt{-x-4} = \sqrt{2-x}\sqrt{4-x} $$

Поскольку на промежутке $(-\infty, -4]$ выражение $2-x$ строго положительно, мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt{2-x} \neq 0$:

$$ \sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-4} = \sqrt{4-x} $$

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$$ (\sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-4})^2 = (\sqrt{4-x})^2 $$

$$ (-x-2) + (-x-4) + 2\sqrt{(-x-2)(-x-4)} = 4-x $$

$$ -2x-6 + 2\sqrt{x^2+6x+8} = 4-x $$

$$ 2\sqrt{x^2+6x+8} = x+10 $$

Для выполнения следующего возведения в квадрат необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x+10 \ge 0$, т.е. $x \ge -10$. С учетом рассматриваемого случая, мы ищем решения на отрезке $[-10, -4]$.

Возводим в квадрат обе части:

$$ 4(x^2+6x+8) = (x+10)^2 $$

$$ 4x^2+24x+32 = x^2+20x+100 $$

$$ 3x^2+4x-68=0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-68) = 16 + 816 = 832 $$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13} $$

Корни уравнения:

$$ x = \frac{-4 \pm 8\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{13}}{3} $$

Проверим, принадлежат ли эти корни отрезку $[-10, -4]$.

1) $x_1 = \frac{-2 + 4\sqrt{13}}{3}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_1 \approx \frac{-2 + 4 \cdot 3.6}{3} = \frac{12.4}{3} \approx 4.13$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-10, -4]$.

2) $x_2 = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$. Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_2 \approx \frac{-2 - 4 \cdot 3.6}{3} = \frac{-16.4}{3} \approx -5.47$. Этот корень принадлежит отрезку $[-10, -4]$. Проверим точно:$ -10 \le \frac{-2-4\sqrt{13}}{3} \le -4 \iff -30 \le -2-4\sqrt{13} \le -12 \iff -28 \le -4\sqrt{13} \le -10 \iff 7 \ge \sqrt{13} \ge 2.5 \iff 49 \ge 13 \ge 6.25$. Неравенство верное.Следовательно, $x = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$ является корнем.

Собрав все найденные корни, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2, x = \frac{-2 - 4\sqrt{13}}{3}$.

2. Решите уравнение $\sqrt{2x^2+5x+2}-\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{3x+6}$.

Данное иррациональное уравнение: $ \sqrt{2x^2+5x+2} - \sqrt{x^2+x-2} = \sqrt{3x+6} $

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой все подкоренные выражения неотрицательны. Составим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x^2+5x+2 \ge 0 \\ x^2+x-2 \ge 0 \\ 3x+6 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:
1. $3x+6 \ge 0 \implies 3x \ge -6 \implies x \ge -2$.
2. $x^2+x-2 \ge 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=-2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
3. $2x^2+5x+2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2+5x+2=0$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4}$, то есть $x_1 = \frac{-5-3}{4}=-2$ и $x_2 = \frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех решений: $ x \in [-2, \infty) \cap ((-\infty, -2] \cup [1, \infty)) \cap ((-\infty, -2] \cup [-\frac{1}{2}, \infty)) $
Общим решением системы является множество $x \in \{-2\} \cup [1, \infty)$. Это и есть ОДЗ нашего уравнения.

Проверим, является ли $x=-2$ корнем уравнения, подставив его в исходное выражение: $ \sqrt{2(-2)^2+5(-2)+2} - \sqrt{(-2)^2+(-2)-2} = \sqrt{3(-2)+6} $ $ \sqrt{8-10+2} - \sqrt{4-2-2} = \sqrt{-6+6} $ $ \sqrt{0} - \sqrt{0} = \sqrt{0} $ $ 0 = 0 $
Равенство верное, значит $x=-2$ — один из корней уравнения.

Теперь решим уравнение для $x \in [1, \infty)$. Разложим подкоренные выражения на множители, используя найденные ранее корни: $ 2x^2+5x+2 = (x+2)(2x+1) $ $ x^2+x-2 = (x+2)(x-1) $ $ 3x+6 = 3(x+2) $
Подставим эти выражения в уравнение: $ \sqrt{(x+2)(2x+1)} - \sqrt{(x+2)(x-1)} = \sqrt{3(x+2)} $
Вынесем общий множитель $\sqrt{x+2}$ за скобки: $ \sqrt{x+2}(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1}) = \sqrt{x+2}\sqrt{3} $ $ \sqrt{x+2}(\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} - \sqrt{3}) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1) $\sqrt{x+2} = 0 \implies x=-2$. Этот корень мы уже нашли, и он входит в ОДЗ.
2) $\sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} - \sqrt{3} = 0$.

Решим второе уравнение: $ \sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3} $
Перенесем один из корней в правую часть и возведем обе части в квадрат: $ \sqrt{2x+1} = \sqrt{x-1} + \sqrt{3} $ $ (\sqrt{2x+1})^2 = (\sqrt{x-1} + \sqrt{3})^2 $ $ 2x+1 = (x-1) + 2\sqrt{3(x-1)} + 3 $ $ 2x+1 = x+2 + 2\sqrt{3x-3} $
Уединим оставшийся радикал: $ x-1 = 2\sqrt{3x-3} $
Для $x \ge 1$ левая часть $x-1 \ge 0$, поэтому можно снова возвести обе части в квадрат: $ (x-1)^2 = (2\sqrt{3x-3})^2 $ $ x^2-2x+1 = 4(3x-3) $ $ x^2-2x+1 = 12x-12 $ $ x^2-14x+13 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $ x_1=1, x_2=13 $
Оба корня $x=1$ и $x=13$ принадлежат ОДЗ ($x \in \{-2\} \cup [1, \infty)$).

Таким образом, мы нашли три корня уравнения: -2, 1 и 13.
Ответ: -2; 1; 13.

3. Решите уравнение $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4 - 2x.$

Исходное уравнение в том виде, как оно записано на изображении, `\sqrt{x - 1 + \sqrt{x + 3 + 2\sqrt{(x-1)(x+3)}}} = 4 - 2x`, содержит сложное вложенное иррациональное выражение, которое не упрощается стандартными методами. Наиболее вероятно, что в условии допущена опечатка, и левая часть уравнения задумана как корень из полного квадрата. Предположим, что правильный вид уравнения следующий:

$\sqrt{(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)}} = 4-2x$

Решим это уравнение.

Левая часть уравнения представляет собой корень из выражения, которое можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$. Пусть $a = \sqrt{x-1}$ и $b = \sqrt{x+3}$. Тогда:

$a^2 = (\sqrt{x-1})^2 = x-1$

$b^2 = (\sqrt{x+3})^2 = x+3$

$2ab = 2\sqrt{x-1}\sqrt{x+3} = 2\sqrt{(x-1)(x+3)}$

Таким образом, выражение под корнем в левой части равно $(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = (\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})^2} = 4-2x$

$|\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3}| = 4-2x$

Поскольку квадратный корень по определению является неотрицательной величиной, сумма двух корней $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3}$ также неотрицательна. Следовательно, знак модуля можно опустить:

$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = 4-2x$

Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

2. Левая часть уравнения (сумма арифметических корней) неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной:

$4-2x \ge 0 \Rightarrow 4 \ge 2x \Rightarrow x \le 2$

Объединяя все три условия ($x \ge 1$, $x \ge -3$ и $x \le 2$), получаем ОДЗ: $1 \le x \le 2$, или $x \in [1, 2]$.

Для решения уравнения рассмотрим функции, соответствующие левой и правой частям уравнения на отрезке $[1, 2]$:

$f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+3}$

$g(x) = 4-2x$

Исследуем монотонность этих функций. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3})' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

На интервале $(1, 2)$ оба слагаемых в $f'(x)$ строго положительны, значит, $f'(x) > 0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на своем отрезке определения $[1, 2]$.

Функция $g(x) = 4-2x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$, поэтому она строго убывает на всей числовой прямой, включая отрезок $[1, 2]$.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение $f(x)=g(x)$ имеет не более одного решения.

Найдем это решение методом подбора, проверив одну из граничных точек ОДЗ. Проверим $x=1$:

$\sqrt{1-1} + \sqrt{1+3} = 4 - 2(1)$

$\sqrt{0} + \sqrt{4} = 4 - 2$

$0 + 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, $x=1$ является решением уравнения. Поскольку мы доказали, что решение может быть только одно, $x=1$ и есть единственный корень уравнения.

Ответ: $1$.

4. Решите уравнение $x + \sqrt{(x+6)(x-2)} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Для того чтобы уравнение имело смысл, все выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} $
Общим решением системы является $x \ge 2$. При этом условии выражение $(x+6)(x-2)$ также будет неотрицательным.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in [2, \infty)$.

2. Преобразование и решение уравнения
На области допустимых значений справедливо равенство $\sqrt{(x+6)(x-2)} = \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2}$. Подставим это в исходное уравнение:
$x + \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$x - 2 - \sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2} = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(x - 2 - \sqrt{x-2}) + (\sqrt{x+6}\sqrt{x-2} - \sqrt{x+6}) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы. Заметим, что $x-2$ можно представить как $(\sqrt{x-2})^2$:
$((\sqrt{x-2})^2 - \sqrt{x-2}) + \sqrt{x+6}(\sqrt{x-2} - 1) = 0$
$\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} - 1) + \sqrt{x+6}(\sqrt{x-2} - 1) = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(\sqrt{x-2} - 1)$:
$(\sqrt{x-2} - 1)(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай А:
$\sqrt{x-2} - 1 = 0$
$\sqrt{x-2} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x - 2 = 1$
$x = 3$
Найденный корень $x=3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge 2$), следовательно, является решением.

Случай Б:
$\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$
На ОДЗ $x \ge 2$ оба слагаемых $\sqrt{x-2}$ и $\sqrt{x+6}$ являются неотрицательными. Их сумма может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю одновременно.
$\sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x=2$
$\sqrt{x+6} = 0 \Rightarrow x=-6$
Так как не существует значения $x$, при котором оба условия выполняются одновременно, в этом случае решений нет.

3. Проверка
Единственное полученное решение - $x=3$. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:
$3 + \sqrt{(3+6)(3-2)} = 2 + \sqrt{3+6} + \sqrt{3-2}$
$3 + \sqrt{9 \cdot 1} = 2 + \sqrt{9} + \sqrt{1}$
$3 + 3 = 2 + 3 + 1$
$6 = 6$
Равенство верное.

Ответ: $3$

5. Решите уравнение $4x^2 + 12x\sqrt{1 + x} = 27(1 + x)$

Исходное уравнение: $4x^2+12x\sqrt{1+x}=27(1+x)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$1+x \ge 0 \implies x \ge -1$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в виде $f(x)=0$:$4x^2+12x\sqrt{1+x}-27(1+x)=0$.

Это уравнение является однородным относительно выражений $x$ и $\sqrt{1+x}$.Проверим, является ли $x=-1$ корнем уравнения. При $x=-1$ выражение $\sqrt{1+x}$ равно нулю.Подставив $x=-1$ в исходное уравнение, получаем:$4(-1)^2 + 12(-1)\sqrt{1-1} = 27(1-1)$$4(1) + 0 = 0$$4 = 0$Это неверное равенство, следовательно, $x=-1$ не является корнем уравнения. Это означает, что $1+x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $1+x$.

Разделим уравнение на $1+x$:$\frac{4x^2}{1+x} + \frac{12x\sqrt{1+x}}{1+x} - \frac{27(1+x)}{1+x} = 0$.Упростим выражение:$4\left(\frac{x}{\sqrt{1+x}}\right)^2 + 12\frac{x}{\sqrt{1+x}} - 27 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \frac{x}{\sqrt{1+x}}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 + 12t - 27 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27) = 144 + 432 = 576 = 24^2$.Найдем корни для $t$:$t_1 = \frac{-12 - 24}{2 \cdot 4} = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2}$$t_2 = \frac{-12 + 24}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и найти $x$.

1. Случай $t = \frac{3}{2}$$\frac{x}{\sqrt{1+x}} = \frac{3}{2}$Так как правая часть положительна и знаменатель $\sqrt{1+x}$ положителен (мы установили, что он не равен нулю), то и числитель $x$ должен быть положительным: $x>0$. Это условие не противоречит ОДЗ $x \ge -1$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x^2}{1+x} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$$\frac{x^2}{1+x} = \frac{9}{4}$$4x^2 = 9(1+x)$$4x^2 - 9x - 9 = 0$Решим полученное квадратное уравнение:$D_x = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.$x = \frac{9 \pm 15}{8}$$x_1 = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3$$x_2 = \frac{9-15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$Согласно условию $x>0$, корень $x_1=3$ подходит. Корень $x_2 = -3/4$ не удовлетворяет условию $x>0$, поэтому является посторонним для данного случая.

2. Случай $t = -\frac{9}{2}$$\frac{x}{\sqrt{1+x}} = -\frac{9}{2}$В этом случае числитель $x$ должен быть отрицательным: $x<0$. С учетом ОДЗ, искомый корень должен лежать в интервале $-1 < x < 0$.Возведем обе части уравнения в квадрат:$\frac{x^2}{1+x} = \left(-\frac{9}{2}\right)^2$$\frac{x^2}{1+x} = \frac{81}{4}$$4x^2 = 81(1+x)$$4x^2 - 81x - 81 = 0$Решим это уравнение:$D_x = (-81)^2 - 4 \cdot 4 \

6. Решите уравнение $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Исходное уравнение: $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x + 3 \ge 0$, что означает $x \ge -3$.

Перегруппируем слагаемые в уравнении:$6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + (x+3) = 0$.

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно двух выражений: $x$ и $\sqrt{x+3}$. Пусть $y = \sqrt{x+3}$. Тогда $y^2 = x+3$. Поскольку $y$ представляет собой арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $y \ge 0$.Подставив $y$ в уравнение, получаем:$6x^2 - 5xy + y^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени относительно $x$ и $y$. Проверим, является ли $x=0$ решением. Если $x=0$, исходное уравнение принимает вид $0 - 0 + 0 + 3 = 0$, или $3=0$, что неверно. Следовательно, $x \ne 0$, и мы можем разделить обе части однородного уравнения на $x^2$:

$6 - 5\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = 0$.

Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$. Уравнение превращается в стандартное квадратное уравнение:$t^2 - 5t + 6 = 0$.

Корни этого уравнения легко найти по теореме Виета: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Теперь необходимо вернуться к переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 2$.

Из замены $t = \frac{y}{x}$ следует, что $\frac{y}{x} = 2$, или $y=2x$. Подставляя обратно $y=\sqrt{x+3}$, получаем:$\sqrt{x+3} = 2x$.

Так как левая часть уравнения (арифметический корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это условие является более строгим, чем ОДЗ ($x \ge -3$), поэтому мы будем использовать его.Возведем обе части уравнения в квадрат:$x+3 = (2x)^2$$x+3 = 4x^2$$4x^2 - x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.Корни:$x_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.$x_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Теперь проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 0$.$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.$x_2 = -\frac{3}{4}$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Случай 2: $t = 3$.

$\frac{y}{x} = 3$, или $y=3x$. Подставляя $y=\sqrt{x+3}$, получаем:$\sqrt{x+3} = 3x$.

Аналогично первому случаю, правая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.Возведем обе части в квадрат:$x+3 = (3x)^2$$x+3 = 9x^2$$9x^2 - x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(9)(-3) = 1 + 108 = 109$.Корни:$x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$.$x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 0$.Корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$ является положительным числом, так как $\sqrt{109}>0$, и, следовательно, удовлетворяет условию.Корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$ является отрицательным числом, так как $\sqrt{109} > \sqrt{1}=1$. Следовательно, он не удовлетворяет условию $x \ge 0$ и является посторонним.

Таким образом, мы получили два решения, которые удовлетворяют всем условиям и ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1+\sqrt{109}}{18}$.

7. Решите уравнение $\sqrt[3]{(x+3)^2} + \sqrt[3]{(6-x)^2} - \sqrt[3]{(x+3)(6-x)} = 3$.

Для решения данного уравнения $\sqrt[3]{(x+3)^2} + \sqrt[3]{(6-x)^2} - \sqrt[3]{(x+3)(6-x)} = 3$ введем замену переменных.

Пусть $a = \sqrt[3]{x+3}$ и $b = \sqrt[3]{6-x}$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$a^2 + b^2 - ab = 3$

Теперь найдем еще одно соотношение, связывающее переменные $a$ и $b$. Для этого возведем в куб выражения, введенные при замене:

$a^3 = (\sqrt[3]{x+3})^3 = x+3$

$b^3 = (\sqrt[3]{6-x})^3 = 6-x$

Сложив эти два равенства, мы можем исключить переменную $x$:

$a^3 + b^3 = (x+3) + (6-x) = 9$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 - ab + b^2 = 3 \\ a^3 + b^3 = 9 \end{cases}$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для второго уравнения системы. Подставим в него значение выражения $a^2 - ab + b^2$ из первого уравнения:

$(a+b) \cdot 3 = 9$

Отсюда следует, что:

$a+b = 3$

Теперь мы можем составить новую, более простую систему. Чтобы найти произведение $ab$, возведем уравнение $a+b=3$ в квадрат:

$(a+b)^2 = 3^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = 9$

Вычтем из полученного уравнения $a^2 + 2ab + b^2 = 9$ уравнение $a^2 - ab + b^2 = 3$:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2) = 9 - 3$

$3ab = 6$

$ab = 2$

В итоге мы имеем систему, которую можно решить с помощью теоремы, обратной теореме Виета:

$\begin{cases} a+b = 3 \\ ab = 2 \end{cases}$

Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим в него найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти путем разложения на множители: $(t-1)(t-2)=0$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Это означает, что для пары $(a, b)$ есть два возможных варианта: $(1, 2)$ или $(2, 1)$. Рассмотрим оба.

Случай 1: $a=1$ и $b=2$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x+3} = 1$.

Возведем обе части в куб: $x+3 = 1^3 \implies x+3 = 1 \implies x = -2$.

Проверим, выполняется ли при $x=-2$ условие для $b=2$: $\sqrt[3]{6-x} = \sqrt[3]{6-(-2)} = \sqrt[3]{8} = 2$. Условие выполняется, следовательно, $x=-2$ является корнем уравнения.

Случай 2: $a=2$ и $b=1$.

Выполним обратную замену для $a$: $\sqrt[3]{x+3} = 2$.

Возведем обе части в куб: $x+3 = 2^3 \implies x+3 = 8 \implies x = 5$.

Проверим, выполняется ли при $x=5$ условие для $b=1$: $\sqrt[3]{6-x} = \sqrt[3]{6-5} = \sqrt[3]{1} = 1$. Условие выполняется, следовательно, $x=5$ также является корнем уравнения.

Ответ: $-2; 5$.

8. Решите уравнение $\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{(x-5)^2} + \sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = 3$.

Данное уравнение имеет вид $\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{(x-5)^2} + \sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = 3$.

Для решения этого уравнения удобно использовать метод замены переменных. Пусть:

$a = \sqrt[3]{x+4}$

$b = \sqrt[3]{x-5}$

Тогда исходное уравнение можно переписать в терминах $a$ и $b$. Заметим, что:

$\sqrt[3]{(x+4)^2} = (\sqrt[3]{x+4})^2 = a^2$

$\sqrt[3]{(x-5)^2} = (\sqrt[3]{x-5})^2 = b^2$

$\sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = \sqrt[3]{x+4} \cdot \sqrt[3]{x-5} = ab$

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим:

$a^2 + ab + b^2 = 3$

Теперь найдем еще одну связь между переменными $a$ и $b$. Возведем наши замены в куб:

$a^3 = (\sqrt[3]{x+4})^3 = x+4$

$b^3 = (\sqrt[3]{x-5})^3 = x-5$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:

$a^3 - b^3 = (x+4) - (x-5) = x+4-x+5 = 9$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3 \\ a^3 - b^3 = 9 \end{cases}$

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим в эту формулу известные нам значения из системы:

$9 = (a-b) \cdot 3$

Отсюда находим значение выражения $(a-b)$:

$a-b = \frac{9}{3} = 3$

Теперь наша система уравнений стала проще:

$\begin{cases} a-b = 3 \\ a^2 + ab + b^2 = 3 \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения: $a = b+3$. Подставим это во второе уравнение:

$(b+3)^2 + (b+3)b + b^2 = 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(b^2 + 6b + 9) + (b^2 + 3b) + b^2 = 3$

$3b^2 + 9b + 9 = 3$

$3b^2 + 9b + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 3, чтобы упростить его:

$b^2 + 3b + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корнями являются $b_1 = -1$ и $b_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого корня $b$, используя соотношение $a = b+3$.

1. Если $b_1 = -1$, то $a_1 = -1 + 3 = 2$.

2. Если $b_2 = -2$, то $a_2 = -2 + 3 = 1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(2, -1)$ и $(1, -2)$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $a=2, b=-1$.

Используем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$2 = \sqrt[3]{x+4}$

$2^3 = x+4$

$8 = x+4$

$x_1 = 4$

Проверим это значение, используя $b = \sqrt[3]{x-5}$:

$-1 = \sqrt[3]{4-5} \implies -1 = \sqrt[3]{-1}$, что является верным равенством.

Случай 2: $a=1, b=-2$.

Используем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$1 = \sqrt[3]{x+4}$

$1^3 = x+4$

$1 = x+4$

$x_2 = -3$

Проверим это значение, используя $b = \sqrt[3]{x-5}$:

$-2 = \sqrt[3]{-3-5} \implies -2 = \sqrt[3]{-8}$, что является верным равенством.

Таким образом, мы нашли два корня уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Проверка для $x=4$:

$\sqrt[3]{(4+4)^2} + \sqrt[3]{(4-5)^2} + \sqrt[3]{(4+4)(4-5)} = \sqrt[3]{8^2} + \sqrt[3]{(-1)^2} + \sqrt[3]{8 \cdot (-1)} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{-8} = 4 + 1 + (-2) = 3$.

$3=3$. Равенство верное, корень $x=4$ найден правильно.

Проверка для $x=-3$:

$\sqrt[3]{(-3+4)^2} + \sqrt[3]{(-3-5)^2} + \sqrt[3]{(-3+4)(-3-5)} = \sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{(-8)^2} + \sqrt[3]{1 \cdot (-8)} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{-8} = 1 + 4 + (-2) = 3$.

$3=3$. Равенство верное, корень $x=-3$ найден правильно.

Ответ: $-3; 4$.

9. Решите неравенство $(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} \ge 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(4 - x)(5 - x) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Корнями уравнения $(4 - x)(5 - x) = 0$ являются $x=4$ и $x=5$. Графиком функции $y = (4-x)(5-x) = x^2 - 9x + 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение будет неотрицательным при значениях $x$, которые не лежат между корнями.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

Решение исходного неравенства на этой области можно найти, рассмотрев два случая, которые в совокупности дают все решения.

Случай 1: Левая часть неравенства равна нулю.

Это происходит, когда $\sqrt{(4 - x)(5 - x)} = 0$, так как при этих значениях $x$ множитель $(x+2)$ не равен нулю. Условие $\sqrt{(4 - x)(5 - x)} = 0$ выполняется при $x = 4$ и $x = 5$. В этих точках неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=4$ и $x=5$ являются решениями.

Случай 2: Левая часть неравенства строго больше нуля.

Это возможно, только если оба множителя положительны (так как корень не может быть отрицательным). Это условие можно записать в виде системы неравенств:

Возведя второе неравенство в квадрат, получим равносильную систему:

Решая первое неравенство, получаем $x > -2$.

Решая второе неравенство, получаем $x \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.

Пересечение решений этих двух неравенств дает множество $x \in (-2, 4) \cup (5, \infty)$.

В качестве альтернативы для случая 2, можно было бы решать систему с нестрогим неравенством $x+2 \ge 0$ и строгим $(4-x)(5-x)>0$, что дало бы $x \in [-2, 4) \cup (5, \infty)$.

Итог:

Объединим решения, полученные в обоих случаях. Из первого случая имеем точки $\{4, 5\}$. Из второго случая — интервалы $[-2, 4) \cup (5, \infty)$ (используя второй подход, который сразу учитывает $x=-2$).

Объединение множеств $\{4, 5\} \cup ([-2, 4) \cup (5, \infty))$ дает итоговый результат.

Ответ: $x \in [-2, 4] \cup [5, \infty)$.

10. Решите неравенство $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$.

Решим неравенство $(x^2-1)\sqrt{x^2-4} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим левую часть неравенства на множители:

$(x-2)(x+2) \ge 0$

Решением данного квадратичного неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Это и есть ОДЗ для исходного неравенства.

2. Теперь решим само неравенство. Оно представляет собой произведение двух множителей: $(x^2-1)$ и $\sqrt{x^2-4}$.

На всей области допустимых значений множитель $\sqrt{x^2-4}$ является неотрицательным, то есть $\sqrt{x^2-4} \ge 0$.

Произведение неотрицательного множителя $\sqrt{x^2-4}$ и множителя $(x^2-1)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:

• Когда произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю (при условии, что второй множитель существует).

  Если $\sqrt{x^2-4} = 0$, то $x^2-4=0$, откуда получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Оба этих значения входят в ОДЗ, следовательно, они являются решениями.

  Если $x^2-1 = 0$, то $x_3 = 1$ и $x_4 = -1$. Однако, эти значения не входят в ОДЗ $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, поэтому они не являются решениями.

• Когда произведение строго меньше нуля. Так как для $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ множитель $\sqrt{x^2-4}$ строго положителен, то для выполнения неравенства $(x^2-1)\sqrt{x^2-4} < 0$ необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

  $x^2-1 < 0$

  $(x-1)(x+1) < 0$

  Решением этого неравенства является интервал $x \in (-1, 1)$.

3. Найдем общее решение. Для этого нужно найти пересечение множества решений $x \in (-1, 1)$ с той частью ОДЗ, где $\sqrt{x^2-4} > 0$, то есть с $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Пересечение $(-1, 1) \cap \left( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \right)$ является пустым множеством, так как нет таких значений $x$, которые одновременно принадлежали бы обоим множествам.

Таким образом, единственными решениями исходного неравенства являются значения, при которых оно обращается в ноль.

Ответ: $\{-2, 2\}$.

11. Решите неравенство $\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3$.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для того чтобы левая часть неравенства была определена, необходимо выполнение двух условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$$ \begin{cases} 1 - 4x^2 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$1 - 4x^2 \ge 0$

$4x^2 \le 1$

$x^2 \le \frac{1}{4}$

Это неравенство выполняется при $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

С учетом второго условия ($x \ne 0$), получаем ОДЗ:

$x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

2. Решение неравенства

Преобразуем исходное неравенство. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$, сопряженное числителю. На ОДЗ это выражение всегда строго положительно ($1 + \sqrt{1 - 4x^2} \ge 1$), поэтому данное преобразование является равносильным.

$$ \frac{(1 - \sqrt{1 - 4x^2})(1 + \sqrt{1 - 4x^2})}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

Применив в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получим:

$$ \frac{1^2 - (\sqrt{1 - 4x^2})^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

$$ \frac{1 - (1 - 4x^2)}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

$$ \frac{4x^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3 $$

Так как в ОДЗ $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$$ \frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3 $$

Знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ положителен на ОДЗ. Следовательно, можно умножить обе части неравенства на этот знаменатель, сохранив знак неравенства:

$$ 4x < 3(1 + \sqrt{1 - 4x^2}) $$

$$ 4x - 3 < 3\sqrt{1 - 4x^2} $$

Получили иррациональное неравенство вида $f(x) < g(x)$, где $g(x) \ge 0$. Решение такого неравенства эквивалентно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} 4x - 3 < 0 \\ 1 - 4x^2 \ge 0 \end{cases}$ (в этом случае левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и неравенство всегда верно).

б) $\begin{cases} 4x - 3 \ge 0 \\ (4x - 3)^2 < (3\sqrt{1 - 4x^2})^2 \end{cases}$ (в этом случае обе части неотрицательны, и можно возвести их в квадрат).

Рассмотрим систему а):

$4x - 3 < 0 \implies 4x < 3 \implies x < \frac{3}{4}$.

Второе условие $1 - 4x^2 \ge 0$ соответствует ОДЗ ($x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$). Все значения $x$ из ОДЗ удовлетворяют условию $x < \frac{3}{4}$ (так как $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\frac{3}{4} = 0.75$). Следовательно, решением системы а) является вся область допустимых значений: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

Рассмотрим систему б):

$4x - 3 \ge 0 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

Это условие не имеет общих точек с ОДЗ $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Следовательно, система б) не имеет решений.

Объединяя решения обеих систем, получаем, что решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

12. Решите неравенство $\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} \le \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9}$.

Исходное неравенство:

$$ \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} \le \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9} $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

1. Условие на подкоренное выражение: $8 - 2x - x^2 \ge 0$. Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак: $x^2 + 2x - 8 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Так как парабола $y = x^2 + 2x - 8$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-4, 2]$.

2. Условия на знаменатели: $x + 10 \ne 0 \implies x \ne -10$ и $2x + 9 \ne 0 \implies x \ne -4.5$.

Оба значения $x=-10$ и $x=-4.5$ не входят в отрезок $[-4, 2]$, поэтому ОДЗ неравенства совпадает с решением первого пункта: $x \in [-4, 2]$.

Теперь решим само неравенство. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобку:

$$ \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} - \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9} \le 0 $$

$$ \sqrt{8 - 2x - x^2} \left( \frac{1}{x + 10} - \frac{1}{2x + 9} \right) \le 0 $$

Произведение двух множителей не положительно, если один из множителей равен нулю, или если множители имеют разные знаки. Рассмотрим два возможных случая в рамках ОДЗ.

Случай 1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{8 - 2x - x^2} = 0$.

Это происходит при $x = -4$ или $x = 2$. При этих значениях $x$ левая часть неравенства обращается в ноль, и неравенство $0 \le 0$ выполняется. Оба корня входят в ОДЗ. Следовательно, $x = -4$ и $x = 2$ являются решениями.

Случай 2. Первый множитель строго больше нуля: $\sqrt{8 - 2x - x^2} > 0$.

Это соответствует интервалу $x \in (-4, 2)$. В этом случае первый множитель положителен, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив его знак. Получаем:

$$ \frac{1}{x + 10} - \frac{1}{2x + 9} \le 0 $$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{(2x + 9) - (x + 10)}{(x + 10)(2x + 9)} \le 0 $$

$$ \frac{x - 1}{(x + 10)(2x + 9)} \le 0 $$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = 1$, $x = -10$, $x = -4.5$. Отметим их на числовой оси и определим знаки выражения на получившихся интервалах. С учетом знака $\le$, решением будет объединение интервалов, где выражение отрицательно, и точек, где оно равно нулю (только корень числителя). Это дает нам $x \in (-\infty, -10) \cup (-4.5, 1]$.

Теперь необходимо учесть ограничение $x \in (-4, 2)$ для этого случая. Найдем пересечение множества решений $x \in (-\infty, -10) \cup (-4.5, 1]$ с интервалом $x \in (-4, 2)$.

Пересечением является полуинтервал $(-4, 1]$.

Для получения итогового ответа объединим решения, найденные в обоих случаях: значения $x = -4$ и $x = 2$ из первого случая и полуинтервал $(-4, 1]$ из второго.

Объединяя $\{ -4, 2 \}$ и $(-4, 1]$, получаем множество $[-4, 1] \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in [-4, 1] \cup \{2\}$.

13. Решите неравенство $\sqrt[3]{x} - \sqrt{x+3} > 1$.

Для решения неравенства $3\sqrt{x} - \sqrt{x+3} > 1$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

Определение ОДЗ

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, поэтому получаем систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Общей областью является $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

Решение неравенства

Перенесем второй корень в правую часть, чтобы упростить дальнейшие преобразования:

$3\sqrt{x} - 1 > \sqrt{x+3}$

Правая часть этого неравенства, $\sqrt{x+3}$, всегда неотрицательна. Для того чтобы неравенство выполнялось, левая часть, $3\sqrt{x} - 1$, должна быть строго положительной (поскольку отрицательное число не может быть больше неотрицательного). Это накладывает дополнительное условие:

$3\sqrt{x} - 1 > 0 \implies 3\sqrt{x} > 1 \implies \sqrt{x} > \frac{1}{3}$

Возводя в квадрат, получаем $x > \frac{1}{9}$.

Теперь, когда мы знаем, что обе части неравенства $3\sqrt{x} - 1 > \sqrt{x+3}$ положительны (при $x > 1/9$), мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(3\sqrt{x} - 1)^2 > (\sqrt{x+3})^2$

$9x - 6\sqrt{x} + 1 > x+3$

$8x - 6\sqrt{x} - 2 > 0$

Разделив на 2, получим:

$4x - 3\sqrt{x} - 1 > 0$

Это неравенство является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая условие $x > 1/9$, для новой переменной получаем $t > 1/3$. Неравенство принимает вид:

$4t^2 - 3t - 1 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 - 3t - 1 = 0$:

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}$

$t_1 = \frac{3+5}{8} = 1$, $t_2 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$

Поскольку ветви параболы $y = 4t^2 - 3t - 1$ направлены вверх, неравенство $4t^2 - 3t - 1 > 0$ выполняется при $t < -1/4$ или $t > 1$.

Совместим это решение с условием $t > 1/3$. Из двух интервалов нам подходит только $t > 1$.

Произведем обратную замену:

$\sqrt{x} > 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем окончательное решение:

$x > 1$

Данное решение $x > 1$ полностью удовлетворяет и ОДЗ ($x \ge 0$), и дополнительному условию ($x > 1/9$).

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

14. Решите неравенство $\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$.

Дано иррациональное неравенство:
$\sqrt{x+3} < \sqrt{x-1} + \sqrt{x-2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$
Решением этой системы является:
$\begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

2. На всей области допустимых значений обе части исходного неравенства являются положительными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt{x+3})^2 < (\sqrt{x-1} + \sqrt{x-2})^2$
$x+3 < (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(x-2)} + (x-2)$
$x+3 < 2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

3. Упростим неравенство, уединив слагаемое с корнем в одной части:
$x+3 - 2x + 3 < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$
$6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$

4. Для решения полученного неравенства рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $6-x$.

Случай 1: левая часть отрицательна, то есть $6 - x < 0 \implies x > 6$.
В этом случае неравенство $6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ всегда верно, так как отрицательное число всегда меньше неотрицательного (значение корня не может быть отрицательным). Учитывая ОДЗ ($x \ge 2$), все значения $x > 6$ являются решением.
Решение в этом случае: $x \in (6, +\infty)$.

Случай 2: левая часть неотрицательна, то есть $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.
С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается на промежутке $x \in [2, 6]$.
На этом промежутке обе части неравенства $6 - x < 2\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ неотрицательны, поэтому мы можем снова возвести их в квадрат:
$(6-x)^2 < (2\sqrt{x^2 - 3x + 2})^2$
$36 - 12x + x^2 < 4(x^2 - 3x + 2)$
$36 - 12x + x^2 < 4x^2 - 12x + 8$
$36 - 8 < 4x^2 - x^2$
$28 < 3x^2$
$x^2 > \frac{28}{3}$
Решением этого квадратичного неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{28}{3}}) \cup (\sqrt{\frac{28}{3}}, +\infty)$.
Вычислим значение корня: $\sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.
Оценим это значение: $4 < \sqrt{21} < 5$, поэтому $8 < 2\sqrt{21} < 10$, и $\frac{8}{3} < \frac{2\sqrt{21}}{3} < \frac{10}{3}$. То есть, $2.66 < \frac{2\sqrt{21}}{3} < 3.34$.
Нам нужно найти пересечение множества решений $x^2 > \frac{28}{3}$ с промежутком $[2, 6]$, на котором мы рассматриваем данный случай.
Поскольку $\frac{2\sqrt{21}}{3} > 2$, то пересечение будет $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6]$.

5. Объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1: $x \in (6, +\infty)$.
Из случая 2: $x \in (\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6]$.
Объединение этих двух множеств дает итоговый ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, 6] \cup (6, +\infty) = (\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{3}, +\infty)$.

15. Решите систему уравнений $ \begin{cases} \sqrt{2x+y+1} - \sqrt{x+y} = 1, \\ 3x+2y = 4. \end{cases} $

Запишем исходную систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{2x + y + 1} - \sqrt{x + y} = 1 \\3x + 2y = 4\end{cases}$$

Для решения этой системы удобно использовать метод введения новых переменных. Пусть $a = \sqrt{2x + y + 1}$ и $b = \sqrt{x + y}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С новыми переменными первое уравнение системы принимает вид:

$a - b = 1$

Из этого уравнения следует, что $a = b + 1$. Так как $b \ge 0$, то $a \ge 1$.

Теперь выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$. Для этого возведем в квадрат выражения для $a$ и $b$:

$a^2 = 2x + y + 1$

$b^2 = x + y$

Вычтем из первого выражения второе, чтобы найти связь с $x$:

$a^2 - b^2 = (2x + y + 1) - (x + y) = 2x + y + 1 - x - y = x + 1$

Отсюда получаем выражение для $x$:

$x = a^2 - b^2 - 1$

Теперь найдем $y$. Из выражения $b^2 = x + y$ следует $y = b^2 - x$. Подставим найденное выражение для $x$:

$y = b^2 - (a^2 - b^2 - 1) = b^2 - a^2 + b^2 + 1 = 2b^2 - a^2 + 1$

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы $3x + 2y = 4$:

$3(a^2 - b^2 - 1) + 2(2b^2 - a^2 + 1) = 4$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$3a^2 - 3b^2 - 3 + 4b^2 - 2a^2 + 2 = 4$

$a^2 + b^2 - 1 = 4$

$a^2 + b^2 = 5$

Теперь у нас есть система уравнений для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a - b = 1 \\a^2 + b^2 = 5\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $a = b + 1$ и подставим во второе:

$(b+1)^2 + b^2 = 5$

$b^2 + 2b + 1 + b^2 = 5$

$2b^2 + 2b - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$b^2 + b - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(b+2)(b-1) = 0$

Корни уравнения: $b_1 = -2$ и $b_2 = 1$.

Согласно условию $b = \sqrt{x+y} \ge 0$, корень $b_1 = -2$ является посторонним. Следовательно, единственное возможное значение для $b$ это $b = 1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$.

Значение $a=2$ удовлетворяет условию $a \ge 1$.

Теперь, зная значения $a=2$ и $b=1$, найдем $x$ и $y$:

$x = a^2 - b^2 - 1 = 2^2 - 1^2 - 1 = 4 -

16. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} 9x^2 + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 - 2y, \\ 6x + y = 2. \end{cases} $

Рассмотрим данную систему уравнений:

$\begin{cases}9x^2 + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 - 2y, \\6x + y = 2.\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы. Заметим, что выражение $9x^2$ присутствует как вне, так и внутри корня. Перенесем слагаемое $-2y$ из правой части в левую:

$9x^2 + 2y + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1$

Чтобы сделать выражение вне корня идентичным подкоренному выражению, прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$(9x^2 + 2y + 1) + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 + 1$

$(9x^2 + 2y + 1) + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 2$

Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $t = \sqrt{9x^2 + 2y + 1}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = (\sqrt{9x^2 + 2y + 1})^2 = 9x^2 + 2y + 1$.

Подставим $t$ и $t^2$ в преобразованное уравнение:

$t^2 + t = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Так как мы ввели условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним и не подходит.

Таким образом, остается единственный корень $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$9x^2 + 2y + 1 = 1^2$

$9x^2 + 2y + 1 = 1$

$9x^2 + 2y = 0$

Теперь исходная система может быть заменена на более простую эквивалентную систему:

$\begin{cases}9x^2 + 2y = 0, \\6x + y = 2.\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2 - 6x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$9x^2 + 2(2 - 6x) = 0$

$9x^2 + 4 - 12x = 0$

$9x^2 - 12x + 4 = 0$

Полученное квадратное уравнение для $x$ является полным квадратом разности:

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 0$

$(3x - 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = \frac{2}{3}$ в выражение $y = 2 - 6x$:

$y = 2 - 6 \cdot \frac{2}{3} = 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2$

Таким образом, мы нашли единственное возможное решение системы: $(\frac{2}{3}, -2)$.

Проверим, удовлетворяет ли найденная пара чисел исходной системе.

Подставим $x = \frac{2}{3}$ и $y = -2$ во второе уравнение:

$6(\frac{2}{3}) + (-2) = 4 - 2 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Подставим $x = \frac{2}{3}$ и $y = -2$ в первое уравнение:

$9(\frac{2}{3})^2 + \sqrt{9(\frac{2}{3})^2 + 2(-2) + 1} = 1 - 2(-2)$

$9 \cdot \frac{4}{9} + \sqrt{9 \cdot \frac{4}{9} - 4 + 1} = 1 + 4$

$4 + \sqrt{4 - 4 + 1} = 5$

$4 + \sqrt{1} = 5$

$4 + 1 = 5$

$5 = 5$. Равенство верно.

Оба уравнения обращаются в верные равенства, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -2)$.