Номер 8, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8. Решите уравнение $\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{(x-5)^2} + \sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = 3$.

Данное уравнение имеет вид $\sqrt[3]{(x+4)^2} + \sqrt[3]{(x-5)^2} + \sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = 3$.

Для решения этого уравнения удобно использовать метод замены переменных. Пусть:

$a = \sqrt[3]{x+4}$

$b = \sqrt[3]{x-5}$

Тогда исходное уравнение можно переписать в терминах $a$ и $b$. Заметим, что:

$\sqrt[3]{(x+4)^2} = (\sqrt[3]{x+4})^2 = a^2$

$\sqrt[3]{(x-5)^2} = (\sqrt[3]{x-5})^2 = b^2$

$\sqrt[3]{(x+4)(x-5)} = \sqrt[3]{x+4} \cdot \sqrt[3]{x-5} = ab$

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим:

$a^2 + ab + b^2 = 3$

Теперь найдем еще одну связь между переменными $a$ и $b$. Возведем наши замены в куб:

$a^3 = (\sqrt[3]{x+4})^3 = x+4$

$b^3 = (\sqrt[3]{x-5})^3 = x-5$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:

$a^3 - b^3 = (x+4) - (x-5) = x+4-x+5 = 9$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a^2 + ab + b^2 = 3 \\ a^3 - b^3 = 9 \end{cases}$

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим в эту формулу известные нам значения из системы:

$9 = (a-b) \cdot 3$

Отсюда находим значение выражения $(a-b)$:

$a-b = \frac{9}{3} = 3$

Теперь наша система уравнений стала проще:

$\begin{cases} a-b = 3 \\ a^2 + ab + b^2 = 3 \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения: $a = b+3$. Подставим это во второе уравнение:

$(b+3)^2 + (b+3)b + b^2 = 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(b^2 + 6b + 9) + (b^2 + 3b) + b^2 = 3$

$3b^2 + 9b + 9 = 3$

$3b^2 + 9b + 6 = 0$

Разделим все уравнение на 3, чтобы упростить его:

$b^2 + 3b + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $b$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корнями являются $b_1 = -1$ и $b_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$ для каждого корня $b$, используя соотношение $a = b+3$.

1. Если $b_1 = -1$, то $a_1 = -1 + 3 = 2$.

2. Если $b_2 = -2$, то $a_2 = -2 + 3 = 1$.

Мы получили две пары решений для $(a, b)$: $(2, -1)$ и $(1, -2)$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $a=2, b=-1$.

Используем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$2 = \sqrt[3]{x+4}$

$2^3 = x+4$

$8 = x+4$

$x_1 = 4$

Проверим это значение, используя $b = \sqrt[3]{x-5}$:

$-1 = \sqrt[3]{4-5} \implies -1 = \sqrt[3]{-1}$, что является верным равенством.

Случай 2: $a=1, b=-2$.

Используем $a = \sqrt[3]{x+4}$:

$1 = \sqrt[3]{x+4}$

$1^3 = x+4$

$1 = x+4$

$x_2 = -3$

Проверим это значение, используя $b = \sqrt[3]{x-5}$:

$-2 = \sqrt[3]{-3-5} \implies -2 = \sqrt[3]{-8}$, что является верным равенством.

Таким образом, мы нашли два корня уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Проверка для $x=4$:

$\sqrt[3]{(4+4)^2} + \sqrt[3]{(4-5)^2} + \sqrt[3]{(4+4)(4-5)} = \sqrt[3]{8^2} + \sqrt[3]{(-1)^2} + \sqrt[3]{8 \cdot (-1)} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{-8} = 4 + 1 + (-2) = 3$.

$3=3$. Равенство верное, корень $x=4$ найден правильно.

Проверка для $x=-3$:

$\sqrt[3]{(-3+4)^2} + \sqrt[3]{(-3-5)^2} + \sqrt[3]{(-3+4)(-3-5)} = \sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{(-8)^2} + \sqrt[3]{1 \cdot (-8)} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{-8} = 1 + 4 + (-2) = 3$.

$3=3$. Равенство верное, корень $x=-3$ найден правильно.

Ответ: $-3; 4$.