Номер 6, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. Решите уравнение $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Исходное уравнение: $6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + x + 3 = 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$x + 3 \ge 0$, что означает $x \ge -3$.

Перегруппируем слагаемые в уравнении:$6x^2 - 5x\sqrt{x+3} + (x+3) = 0$.

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно двух выражений: $x$ и $\sqrt{x+3}$. Пусть $y = \sqrt{x+3}$. Тогда $y^2 = x+3$. Поскольку $y$ представляет собой арифметический квадратный корень, должно выполняться условие $y \ge 0$.Подставив $y$ в уравнение, получаем:$6x^2 - 5xy + y^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени относительно $x$ и $y$. Проверим, является ли $x=0$ решением. Если $x=0$, исходное уравнение принимает вид $0 - 0 + 0 + 3 = 0$, или $3=0$, что неверно. Следовательно, $x \ne 0$, и мы можем разделить обе части однородного уравнения на $x^2$:

$6 - 5\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = 0$.

Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$. Уравнение превращается в стандартное квадратное уравнение:$t^2 - 5t + 6 = 0$.

Корни этого уравнения легко найти по теореме Виета: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Теперь необходимо вернуться к переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 2$.

Из замены $t = \frac{y}{x}$ следует, что $\frac{y}{x} = 2$, или $y=2x$. Подставляя обратно $y=\sqrt{x+3}$, получаем:$\sqrt{x+3} = 2x$.

Так как левая часть уравнения (арифметический корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Это условие является более строгим, чем ОДЗ ($x \ge -3$), поэтому мы будем использовать его.Возведем обе части уравнения в квадрат:$x+3 = (2x)^2$$x+3 = 4x^2$$4x^2 - x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.Корни:$x_1 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.$x_2 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Теперь проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 0$.$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.$x_2 = -\frac{3}{4}$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Случай 2: $t = 3$.

$\frac{y}{x} = 3$, или $y=3x$. Подставляя $y=\sqrt{x+3}$, получаем:$\sqrt{x+3} = 3x$.

Аналогично первому случаю, правая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.Возведем обе части в квадрат:$x+3 = (3x)^2$$x+3 = 9x^2$$9x^2 - x - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(9)(-3) = 1 + 108 = 109$.Корни:$x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$.$x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 0$.Корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{109}}{18}$ является положительным числом, так как $\sqrt{109}>0$, и, следовательно, удовлетворяет условию.Корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{109}}{18}$ является отрицательным числом, так как $\sqrt{109} > \sqrt{1}=1$. Следовательно, он не удовлетворяет условию $x \ge 0$ и является посторонним.

Таким образом, мы получили два решения, которые удовлетворяют всем условиям и ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1+\sqrt{109}}{18}$.