Номер 13.9, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.9. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases}2x^2 + 13x - 7 \le 0, \\15 - 3x \le 0;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}x^2 + 6x - 40 < 0, \\x^2 + 3x - 18 \ge 0.\end{cases}$$

1)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 + 13x - 7 \le 0$.
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 13x - 7 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
Графиком функции $y = 2x^2 + 13x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Следовательно, неравенство $2x^2 + 13x - 7 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in [-7; 0.5]$.

Решим второе неравенство системы: $15 - 3x \le 0$.
Это линейное неравенство. Перенесем 15 в правую часть:
$-3x \le -15$
Разделим обе части на -3, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x \ge 5$.
Решение второго неравенства: $x \in [5; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть множеств $x \in [-7; 0.5]$ и $x \in [5; +\infty)$.
Данные множества не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

2)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x - 40 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 40 = 0$. Используя теорему Виета, подбираем корни:
$x_1 + x_2 = -6$
$x_1 \cdot x_2 = -40$
Отсюда корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 + 6x - 40$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 6x - 40 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение первого неравенства: $x \in (-10; 4)$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 + 3x - 18 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -18$
Отсюда корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 + 3x - 18$ направлены вверх ($a=1>0$), поэтому неравенство $x^2 + 3x - 18 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -6] \cup [3; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in (-10; 4)$ и $x \in (-\infty; -6] \cup [3; +\infty)$.
Для этого найдем пересечение интервала $(-10; 4)$ с каждым из промежутков второго решения:
1) $(-10; 4) \cap (-\infty; -6] = (-10; -6]$.
2) $(-10; 4) \cap [3; +\infty) = [3; 4)$.
Общее решение системы является объединением полученных промежутков.
Ответ: $(-10; -6] \cup [3; 4)$.